Середній рівень

Розв’язати рівняння:

1. 1) x² = –9x; 2) 25x² = 9; 3) x² – 5x – 36 = 0.

2. 1) Не розв’язуючи квадратне рівняння x² – 15x – 4 = 0, встановити кількість його коренів, обчислити суму та добуток цих коренів.

2) Скласти зведене квадратне рівняння, корені якого дорівнюють –7 і –5.

3. Розв’язати рівняння:

1) 7x² – 20x + 14 = 0; 2) 2x(x – 4) – 8(x – 4) – 49x = 0.

Достатній рівень

Розв’язати рівняння:

1. 1) 16x³ = 25x; 2) (4x – 5)(4x + 5) – (4x + 1)(3x – 8) = 15x – 27.

2. 1) Один з коренів рівняння x² + px – 36 = 0 дорівнює 9. Знайти коефіцієнт p.

2) Скласти квадратне рівняння з цілими коефіцієнтами, корені якого дорівнюють і .

3. 1) Довести, що коли у зведеному квадратному рівнянні x² + px + q = 0 сума другого коефіцієнта та вільного члена дорівнює –1, то один з коренів рівняння дорівнює –p – 1.

2) Розв’язати рівняння x² – 4x – 45 = 0 способом виділення в лівій частині повного квадрата двочлена.

Високий рівень

1. 1) Розв’язати рівняння x(3x + 1)² – (2x – 1)(2x + 1) = 9x³ + 11.

2) Розв’язати рівняння 3x² – 4x – 2 = 0 способом виділення з лівої частини повного квадрата двочлена.

2. 1) Різниця коренів квадратного рівняння x² + px – 15 = 0 дорівнює 8. Знайти p.

2) Не розв’язуючи рівняння 2x² – 3x – 4 = 0, скласти квадратне рівняння, корені якого будуть оберненими числами до коренів даного рівняння.

3. Розв’язати рівняння 2x² + 4x + 1 =  .

ТЕМА 12. РІВНЯННЯ, ЩО ЗВОДЯТЬСЯ ДО КВАДРАТНИХ РІВНЯНЬ

• Біквадратні рівняння; введення нової змінної

• Дробові раціональні рівняння

Початкове вивчення теорії

Навчальні завдання

12.1. Біквадратні рівняння; введення нової змінної

№19. Варіант 1.

1. 1) Яка спільна назва рівнянь x² – 4x² + 4 = 0; 2x⁴ – 9x² + 4 = 0; 36x⁴ – 7x² = 0 виду ax⁴ + bx² + c = 0, де a  0, a, b, c — числа (коефіцієнти), x — змінна?

Доповнити записи (2–3).

2) Щоб розв’язати біквадратне рівняння ax⁴ + bx² + c = 0, доцільно позначити x² = _____. Тоді x⁴ = ____.

3) Якщо в біквадратному рівнянні ax⁴ + bx² + c = 0 замінити x² на y, то x⁴ = y² і одержимо рівняння…

а) ay² + by = 0; б) y² + y + с = 0; в) ay² + by + с = 0.

2. Вказати рівняння, що утвориться з рівняння (1–5):

1) x⁴ – 7x² – 18 = 0, якщо зробити заміну x² = y:

а) y⁴ – 7y – 18 = 0; б) y⁴ + 7y² – 18 = 0; в) y² – 7y – 18 = 0.

2) 4x⁴ – 17x² + 4 = 0, якщо зробити заміну x² = y:

а) 4y⁴ – 17y + 4 = 0; б) 4y² – 17y + 4 = 0; в) 4y⁴ – 17y² + 4 = 0.

3) (x² – 1)² + 2(x² – 1) – 8 = 0, якщо зробити заміну x² – 1 = y:

а) y + 2y – 8 = 0; б) y² + 2y – 8 = 0; в) y⁴ + 2y – 8 = 0.

4) (x² – 3x)² + x² – 3x – 20 = 0, якщо зробити заміну x² – 3x = y:

а) y² – y = 0; б) y² – y – 20 = 0; в) y² + y – 20 = 0.

5) (x – 1)⁴ + (x – 1)² – 5 = 0, якщо зробити заміну (x – 1)² = y:

а) y² + y – 5 = 0; б) y⁴ + y² – 5 = 0; в) y⁴ + y – 5 = 0.

3. Записати квадратне рівняння, що утвориться з рівняння (1–5):

1) x⁴ – 29x² + 100 = 0, якщо зробити заміну x² = y;

2) 2x⁴ – 11x² + 12 = 0, якщо зробити заміну x² = y;

3) (x² – 3)² – 9(x² – 3) + 20 = 0, якщо зробити заміну x² – 3 = y;

4) (x² – 5x)² – (x² – 5x) – 42 = 0, якщо зробити заміну x² – 5x = y;

5) (x + 2)⁴ – 28(x + 2)² + 75 = 0, якщо зробити заміну (x + 2)² = y.

№20. Варіант 2.

1. 1) Як називають рівняння виду ax⁴ + bx² + c = 0, де a  0?

Доповнити запис (1–2).

2) Щоб звести біквадратне рівняння ax⁴ + bx² + c = 0 до квадратного, потрібно ввести змінну y, яка дорівнюватиме…

а) x⁴; б) x³; в) x².

3) Рівняння ax⁴ + bx² + c = 0 після виконання заміни x² = y перетвориться у рівняння ____________________.

2. Вказати рівняння, що утвориться з рівняння (1–5):

1) x⁴ – 20x² + 64 = 0, , якщо зробити заміну x² = y:

а) y⁴ – 20y + 64 = 0; б) y² – 20y² + 64 = 0; в) y² – 20y + 64 = 0.

2) 4x⁴ – 12x² + 1 = 0, якщо зробити заміну x² = y:

а) y² – 12y + 1 = 0; б) 4y² – 12y + 1 = 0; в) 4y⁴ – 12y² + 1 = 0.

3) (x² – 5)² – 13(x² – 5) + 40 = 0, якщо зробити заміну x² – 5 = y:

а) (y² – 5)² – 13y = 0; б) y² – 13y + 40 = 0; в) y⁴ – 13y + 40 = 0.

4) (x² – 7x)² + x² – 7x – 30 = 0, якщо зробити заміну x² – 7x = y:

а) y² + y – 30 = 0; б) y² + y = 0; в) y + y – 30 = 0.

5) (x + 1)⁴ – 8(x + 1)² – 9 = 0, якщо зробити заміну (x + 1)² = y:

а) y⁴ – 8y – 9 = 0; б) y² – 8y – 9 = 0; в) y² – 84 = 0.

3. Записати квадратне рівняння, що утвориться з рівняння (1–5):

1) x⁴ – 25x² + 100 = 0, якщо зробити заміну x²= y;

2) 2x⁴ – 9x² + 4 = 0, якщо зробити заміну x² = y;

3) (x² + 3)² – 11(x² + 3) + 24 = 0, якщо зробити заміну x² + 3 = y;

4) (x² – 6x)² + (x² – 6x) – 30 = 0, якщо зробити заміну x² – 6x = y;

5) (x + 4)⁴ + 10(x + 4)² + 25 = 0, якщо зробити заміну (x + 4)² = y.