Теорема Вієта і теорема, обернена до теореми Вієта

1. Доповнити записи. Якщо зведене квадратне рівняння має корені, то (1–2):

1) сума коренів дорівнює...

а) другому коефіцієнту; б) другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком.

2) добуток коренів дорівнює…

а) вільному члену; б) вільному члену, взятому з протилежним знаком.

Якщо x² + px + q = 0 — зведене квадратичне рівняння, що має корені x₁ та x₂, то (3–4)…

3) x₁ + x₂ = ________;

4) x₁  x₂ = ________.

Якщо у рівнянні ax² + bx + c = 0, x₁ і x₂ — його корені, то (5–6)…

5) x₁ + x₂ = …

а) b; б) –b; в) – ; г) .

6) x₁  x₂ = …

а) c; б) –c; в) – ; г) .

7) Якщо сумою чисел m і n є число –p, а їх добутком є число q, то числа m і n є коренями зведеного квадратного рівняння…

а) x² + px + q = 0; б) x² – px + q = 0.

8) Якщо сумою чисел m і n є число b, а їх добутком число c, то числа m і n є коренями зведеного квадратного рівняння…

а) x² + bx + c = 0; б) x² – bx + c = 0.

2. Вказати суму коренів квадратного рівняння з додатним дискримінантом (1–4):

1) x² + 11x – 4 = 0:

а) 11; б) –11; в) –4; г) 4.

2) x² – 17x – 2 = 0:

а) –17; б) 17; в) –2; г) 2.

3) 4x² + 5x – 1 = 0:

а) ; б) – ; в) – ; г) .

4) 9x² – 17x + 2 = 0:

а) ; б) ; в) ; г) – .

Вказати добуток коренів квадратного рівняння з додатним дискримінантом (5–8):

5) x² – 5x – 3 = 0:

а) –5; б) 5; в) –3; г) 3.

6) x² + 7x – 2 = 0:

а) –7; б) –2; в) 2; г) 7.

7) 8x² – 3x – 7 = 0:

а) ; б) – ; в) ; г) .

8) 3x² – 7x + 2 = 0:

а) ; б) – ; в) ; г) .

Вказати зведене квадратне рівняння, коренями якого є числа (9–12):

9) –10 і –2:

а) x² – 12x + 20 = 0; б) x² + 12x + 20 = 0.

10) 10 і 2:

а) x² – 12x + 20 = 0; б) x² + 12x + 20 = 0.

11) 7 і –3:

а) x² + 4x – 21 = 0; б) x² – 4x – 21 = 0.

12) –10 і 2:

а) x² + 8x – 20 = 0; б) x² – 8x – 20 = 0.

3. Знайти суму коренів квадратного рівняння з додатним дискримінантом (1–4):

1) x² – 9x – 7 = 0; 2) x² + 8x – 7 = 0; 3) 11x² – 2x – 3 = 0; 4) 15x² + 13x – 7 = 0.

Знайти добуток коренів рівняння з додатним дискримінантом (5–8):

5) x² – 8x – 5 = 0; 6) x² + 14x – 9 = 0; 7) 5x² – 7x – 4 = 0; 8) 19x² + 2x – 5 = 0.

Записати зведене квадратне рівняння, коренями якого є числа (9–10):

9) 3 і 11; 10) –5 і –12.

Відтворення і застосування теорії

Самостійні роботи

№9. Варіант 1.

Середній рівень

Розв’язати рівняння:

1. 1) x² + 7x = 0; 2) x² –   = 0; 3) x² – 3x – 10 = 0.

2. 3x² + 10x – 13 = 0.

3. 1) 5x(5x – 2) – 3 = 0.

2) Скласти зведене квадратне рівняння, корені якого дорівнюють і .

Достатній рівень

1. Розв’язати рівняння:

1) ; 2) 5(x – 10) – (x – 20)(x – 10) – 10x = 0.

2. 1) Скласти квадратне рівняння з цілими коефіцієнтами, корені якого дорівнюють і .

2) Встановити, за якого значення m рівняння x² + (m – 3)x = 0 має один корінь — число 0.

3. Розв’язати рівняння x² – 8x – 20 = 0 способом виділення з лівої частини повного квадрата двочлена.

Високий рівень

1. 1) Розв’язати рівняння .

2) Розв’язати рівняння –3x² – 3x + 6 = 0 способом виділенням з лівої частини повного квадрата двочлена.

2. Відомо, що x₁ та x₂ — корені рівняння x² + 5x – 3 = 0. Не розв’язуючи рівняння, знайти значення виразу x₁² + x₂².

3. Розв’язати рівняння x² – 7|x| + 10 = 0.

№10. Варіант 2.

Середній рівень

Розв’язати рівняння:

1. 1) x² – 5x = 0; 2) x² –   = 0; 3) x² + 5x + 4 = 0.

2. 9x² + 2x – 11 = 0.

3. 1) 4x(x + 3) + 9 = 0.

2) Скласти зведене квадратне рівняння, корені якого дорівнюють і .

Достатній рівень

1. Розв’язати рівняння:

1) ; 2) 6x – 3(x + 6) + (x – 12)(x – 6) = 0.

2. 1) Скласти квадратне рівняння з цілими коефіцієнтами, корені якого дорівнюють і .

2) Встановити, за якого значення m рівняння 5x² + (m + 10) x = 0 має один корінь — число 0.

3. Розв’язати рівняння x² + 4x – 32 = 0 способом виділення з лівої частини повного квадрата двочлена.

Високий рівень

1. 1) Розв’язати рівняння .

2) Розв’язати рівняння –2x² + 10x + 4 = 0 способом виділення з лівої частини повного квадрата двочлена.

2. Відомо, що x₁ та x₂ — корені рівняння x² – 7x – 2 = 0. Не розв’язуючи рівняння, знайти значення виразу .

3. Розв’язати рівняння x² – 2|x| – 35 = 0.

№11. Варіант 3.

Середній рівень

Розв’язати рівняння:

1. 1) x² – 12x = 0; 2) 25x² – 1 = 0; 3) x² – 7x + 12 = 0.

2. 2х² + 7х + 5 = 0.

3. 1) .

2) Не обчислюючи коренів рівняння 7x² – 6x + 1 = 0, довести, що воно має два різні корені, та знайти їх суму і добуток.

Достатній рівень

Розв’язати рівняння:

1) 3x² + 2,5x – 0,5 = 0; 2) (3x + 4)(x – 2) – (x + 15)(x – 1) = 17.

2. 1) Скласти квадратне рівняння з цілими коефіцієнтами, корені якого дорівнюють 0,7 і –0,3.

2) Встановити, за якого значення m рівняння 4x² – 3x + (5m – 2) = 0 має два корені, один з яких дорівнює 0, і знайти інший корінь.

3. Розв’язати рівняння x² – 6x – 5 = 0 способом виділення з лівої частини повного квадрата двочлена.