11.2. Розв’язування неповних квадратних рівнянь
№3. Варіант 1.
Квадратне рівняння виду ах2=0
1. 1) Вказати рівняння, якому рівносильне кожне з рівнянь 4x2 = 0; –5x2 = 0; 0,2x2 = 0; –0,2x2 = 0 виду ax2 = 0?
а) x2 = 1; б) x2 = 0.
2) Скільки коренів має рівняння x2 = 0?
а) Один; б) два різні; в) жодного.
3) Вказати корінь рівняння x2 = 0?
а) 1; б) 0.
Доповнити запис.
4) Рівняння виду ax2 = 0, де a 0, має один і тільки один корінь — число ________.
5) Вказати корінь рівняння 7x2 = 0.
а) 7; б) 1; в) 0.
Квадратне рівняння виду ах2 + bx = 0 (a 0, b 0)
6) Вказати рівняння, рівносильне рівнянню ax2 + bx = 0.
а)
; б)
x(ax – b) = 0; в)
x(x + b) = 0.
7) Скільки коренів має рівняння x(ax + b) = 0, якщо a 0, b 0?
а) Один; б) два; в) жодного.
8) Вказати два числа, які є коренями рівняння x(ax + b) = 0, якщо a 0, b 0.
а)
0 і
; б)
0 і –
; в)
0 і –
.
Доповнити запис.
9) Рівняння ax2 + bx = 0,
де a 0,
b 0, має
два корені, один з яких — число ____, а
інший — число
(корінь рівняння ax + b = 0).
Вказати корені рівняння (10–12):
10) x2 + 5x = 0:
а) 0 і 5; б) 0 і –5.
11) 5x2 + 2x = 0:
а)
0 і
; б)
0 і –
.
12) 7x2 – 3x = 0:
а) 0 і ; б) 0 і – .
Квадратне рівняння виду ах2 + с = 0
13) Вказати рівняння, рівносильне квадратному рівнянню ax2 + c = 0.
а) x2 = ; б) x2 = – .
Скільки коренів має кожне з рівносильних рівнянь (14–16):
14) ax2 + c = 0 і x2 = – , якщо коефіцієнти a і c — одного знаку (обидва додатні або обидва від’ємні):
а) жодного; б) один; в) два?
15) ax2 + c = 0 і x = – , якщо коефіцієнти a і c мають різні знаки (один додатний, а інший від’ємний):
а) жодного; б) один; в) два?
16) Вказати корені рівняння ax2 + c = 0 і рівносильного йому рівняння x2 = – , якщо коефіцієнти a і c — різного знаку.
а)
; б)
; в)
і
.
Доповнити записи (18–19):
17) Рівняння ax2 + c = 0 не має коренів, якщо коефіцієнти a і c — ________________ знаку.
18) Коренями квадратного рівняння
ax2 + c = 0 є
протилежні числа
–
і
,
якщо коефіцієнти a і c
______________________.
19) Рівняння 3x2 – 2 = 0
рівносильне рівнянню x2 = 
і…
а)
не має коренів; б) має два корені:
.
Яке з квадратних рівнянь (20–21)
а) ax2 = 0; б) ax2 + bx = 0, якщо b 0; в) ax2 + c = 0, якщо с 0
20) має тільки один корінь — число 0;
21) має два корені, один з яких число 0;
22) не має коренів або має два протилежні корені?
2. 1) Серед неповних квадратних рівнянь а)–е) вказати три, що мають тільки один корінь — число 0:
а) 2x2 = 0; б) 2x2 + 1 = 0; в) 2x2 + 3x = 0; г) –4x2 + 3 = 0; д) –4x2 = 0; е) 0,1x2 = 0.
2) Серед неповних квадратних рівнянь а)–е) вказати три, що мають два корені, один з яких дорівнює 0:
а) 2x2 – 5 = 0; б) 2x2 + 3x = 0; в) 3x2 + 7 = 0; г) –4x2 – 7 = 0; д) x2 – 4x = 0; е) –5x2 + 4x = 0.
3) Серед неповних квадратних рівнянь а)–е) виду ax2 + c = 0 вказати три, що не мають дійсних коренів:
а) 3x2 + 5 = 0; б) 3x2 – 5 = 0; в) x2 + 13 = 0; г) –7x2 – 2 = 0; д) –7x2 + 2 = 0; е) x2 – 13 = 0.
4) Серед неповних квадратних рівнянь а)–е) виду ax2 + c = 0 вказати три, що мають два корені, які є протилежними числами:
а) 2x2 + 5 = 0; б) 2x2 – 7 = 0; в) x2 – 10 = 0; г) –3x2 – 7 = 0; д) 3x2 + 7 = 0; е) –3x2 + 7 = 0.
Доповнити записи (5–10).
5) Рівняння 5x2 = 0…
а) не має коренів; б) має один корінь — число 5; в) має один корінь — число 0.
6) Рівняння 3x2 – 2x = 0 рівносильне рівнянню x(3x – 2) = 0 і має…
а) тільки один корінь — число ; б) тільки один корінь — число 0; в) два корені — 0 і ; г) два корені — 0 і – .
7) Рівняння x2 + 5x = 0 рівносильне рівнянню x(x + 5) = 0 і має…
а) два корені — 0 і 5; б) два корені — 0 і –5; в) один корінь — число 0; г) один корінь — число –5.
8) Неповне квадратне рівняння 5x2 + 3 = 0 рівносильне рівнянню 5x2 = –3 і ...
а) має один корінь; б) має два корені; в) не має коренів.
9) Неповне квадратне рівняння 5x2 – 3 = 0 рівносильне рівнянню 5x2 = 3 і ...
а)
не має коренів;
б) має два корені:
; в)
має два корені: 
.
10) Рівняння x2 – 10 = 0 рівносильне рівнянню x2 = 10 і має…
а)
один корінь — число
; б)
два корені — числа –10 і 10;
в) два
корені — числа –
і
.
3. Записати три неповних квадратних рівняння, які (1–4)...
1) мають тільки один корінь — число 0;
2) мають два корені, один з яких — число 0;
3) мають два корені — протилежні числа;
4) не мають коренів.
Розв’язати рівняння (5–10):
5) –4x2 = 0; 6) 4x2 – 3x = 0; 7) x2 + 7x = 0; 8) 7x2 + 5 = 0; 9) 7x2 – 5 = 0; 10) x2 – 11 = 0.
№4. Варіант 2.
1. Доповнити записи (1–3).
1) Неповне квадратне рівняння ax2 = 0, у якого другий коефіцієнт і вільний член дорівнюють 0, має один корінь — число _____.
2) Неповне квадратне рівняння ax2 + bx = 0, у якого вільний член дорівнює 0, а другий коефіцієнт не дорівнює нулю, має два корені — число 0 і число (корінь рівняння ax + b = 0).
3) Якщо в неповному квадратному рівнянні ax2 + c = 0 коефіцієнти мають однаковий знак (обидва додатні або обидва від’ємні), то рівняння __________________.
4) Вказати корінь рівняння 9x2 = 0.
а) 9; б) 0; в) 1.
Вказати корені рівняння (5–7):
5) x2 + 7x = 0:
а) 0 і 7; б) 0 і –7.
6) 4x2 + 3x = 0:
а)
0 і
; б)
0 і –
.
7) 8x2 – 5x = 0:
а)
0 і
; б)
0 і –
.
Квадратне рівняння виду ах2 + с = 0
8) Вказати рівняння, рівносильне квадратному рівнянню mx2 + n = 0:
а)
x2 = 
; б)
x2 = –
;
9) Скільки коренів має рівняння x2 = – , якщо – — від’ємне число?
а) Один; б) два; в) жодного.
10) Скільки коренів має рівняння x2 = – , якщо – — додатне число?
а) Один; б) два; в) жодного.
11) Вказати два корені рівняння x2 = – , якщо – > 0.
а)
; б)
; в)
і
.
12) Скільки коренів має рівняння mx2 + n = 0, якщо m і n — числа однакового знаку?
а) Жодного; б) один; в) два.
13) Скільки коренів має рівняння mx2 + n = 0, якщо m і n — числа різного знаку?
а) Жодного; б) один; в) два.
14) Якщо m і n — числа різного знаку, то рівняння mx2 + n = 0 має два корені — x1 = ___ і x2 = _______.
15) Якщо m і n — числа однакового знаку, то рівняння mх2 + n = 0 ____________.
16) Рівняння 4x2 – 3 = 0 рівносильне рівнянню x2 = і …
а)
не має коренів; б) має два корені:
.
Яке з квадратних рівнянь
а) ax2 = 0; б) ax2 + bx = 0, якщо b 0; в) ax2 + c = 0, якщо с 0
має (17–19):
17) два корені, один з яких число 0;
18) має один корінь — число 0;
19) не має коренів або має два протилежні корені?
2. 1) Серед неповних квадратних рівнянь
а)–е) вказати три, що мають тільки один
корінь — число 0:
* 2
Капіносов А. Дид. матеріали. Алгебра, 8
кл.
а) 3x2 + 5x = 0; б) 3x2 = 0; в) –7x2 + 5 = 0; г) 3x2 + 1 = 0; д) –7x2 = 0; е) 0,2x2 = 0.
2) Серед неповних квадратних рівнянь а)–е) вказати три, що мають два корені, один з яких дорівнює 0:
а) 4x2 – 3x = 0; б) 4x2 – 3 = 0; в) 4x2 + 3 = 0; г) x2 – 5x = 0; д) x2 + 6x = 0; е) 4x2 = 0.
3) Серед неповних квадратних рівнянь а)–е) виду ax2 + c = 0 вказати три, що не мають коренів:
а) x2 – 3 = 0; б) 4x2 – 7 = 0; в) 4x2 + 7 = 0; г) –3x2 + 1 = 0; д) –3x2 – 1 = 0; е) x2 + 17 = 0.
4) Серед неповних квадратних рівнянь а)–е) виду ax2 + c = 0 вказати три, що мають два корені, які є протилежними числами:
а) 3x2 – 11 = 0; б) 3x2 + 11 = 0; в) –3x2 – 11 = 0; г) x2 – 7 = 0; д) –x2 + 7 = 0; е) x2 + 7 = 0.
Доповнити записи (5–10).
5) Рівняння 7x2 = 0…
а) не має коренів; б) має один корінь — число 7; в) має один корінь — число 0.
6) Рівняння 4x2 – 3x = 0 рівносильне рівнянню x(4x – 3) = 0 і має…
а) тільки один корінь — число ; б) тільки один корінь — число 0; в) два корені — 0 і ; г) два корені — 0 і – .
7) Рівняння x2 + 9x = 0 рівносильне рівнянню x(x + 9) = 0 і має…
а) два корені — 0 і 9; б) два корені — 0 і –9; в) один корінь — число 0; г) один корінь — число –9.
8) Неповне квадратне рівняння 7x2 + 2 = 0, у якого коефіцієнти однакового знаку, рівносильне рівнянню 7x2 = –2 і ...
а) має один корінь; б) має два корені; в) не має коренів.
9) Неповне квадратне рівняння 7x2 – 2 = 0, у якого коефіцієнти різних знаків, рівносильне рівнянню 7x2 = 2 і ...
а)
не має коренів;
б) має два
корені: 
; в)
має один корінь
.
10) Рівняння x2 – 15 = 0 рівносильне рівнянню x2 = 15 і має…
а)
один корінь — число
; б)
два корені — числа –15 і 15;
в) два
корені — числа –
і
.
3. Записати три неповних квадратних рівняння, що (1–4):
1) не мають коренів;
2) мають два корені, один з яких дорівнює 0;
3) мають два корені — протилежні числа;
4) мають тільки один корінь — число 0.
Розв’язати рівняння (5–10):
5) –7x2 = 0; 6) 11x2 – 2x = 0; 7) x2 + 13x = 0; 8) 9x2 + 5 = 0; 9) 9x2 – 5 = 0; 10) x2 – 13 = 0.