Високий рівень

1. 1) Дано функцію f(x) = 7x – 5. Довести, що f(a – 1) + f(a + 3) = 2f(a + 1).

2) Областю значень функції y = f(x) є проміжок [–7; 2]. Знайти область значень функції:

а) y = –f(x); б) y = |f(x)|.

3) Графік функції y = f(x) складається з точок C(–3; 6) і D(3; 4), відрізка CD, променів CM і DN, де М(–9; 0) і N(5; 0). Побудувати графік даної функції і за графіком встановити її властивості (область визначення, область значень, проміжки знакосталості).

2 . Знайти область визначення функції y =  .

3. На рисунку 28 зображено графік функції y = f(x). Побудувати графік функції y = |f(x)|.

ТЕМА 15. ЛІНІЙНА ФУНКЦІЯ. ПРЯМА ПРОПОРЦІЙНІСТЬ

• Поняття лінійної функції і прямої пропорційності

• Графік лінійної функції і прямої пропорційності

Початкове вивчення теорії

Навчальні завдання

15.1. Поняття лінійної функції і прямої пропорційності

№53. Варіант 1.

1. 1) Яка спільна назва функцій y = 2x – 3; y =   + 1; y = –7x + 2; y = 14x; y = 5 виду y = ax + b?

2) Яка спільна назва лінійних функцій y = 3x; y = –3x; y =  ; y = – ; y = 0,2x виду y = ax, a  0?

а) Постійні; б) обернені пропорційності;

в) прямі пропорційності.

3) Яка спільна назва лінійних функцій y = 7; y = –4; y = 0,7; y = – виду y = b?

4) Яка область визначення будь-якої лінійної функції, якщо вона не вказана?

а) (0; +) — множина всіх додатних дійсних чисел; б) множина цілих чисел; в) (–; +) — множина всіх дійсних чисел.

5) Яка область значень будь-якої лінійної функції, що не є постійною?

а) (–; +) — множина всіх дійсних чисел; б) (–; 0)(0; +) — множина всіх дійсних чисел, крім 0; в) (0; +) множина всіх додатних дійсних чисел.

6) Що є областю значень лінійної функції y = b, яка є постійною?

а) Множина всіх дійсних чисел; б) число b; в) множина всіх дійсних чисел, крім 0.

Доповнити запис.

7) Якщо x = 0, то значення лінійної функції y = ax + b дорівнює…

а) а; б) b; в) a + b.

8) Якщо x = 1, то значення лінійної функції y = ax + b дорівнює…

а) а; б) b; в) a + b.

9) Нулем лінійної функції y = ax + b, якщо a  0, є число…

а) b; б) ; в) .

10) Щоб знайти значення лінійної функції y = ax + b для заданого значення аргументу x₀, потрібно…

а) розв’язати рівняння x₀ = ax + b; б) знайти значення виразу ax₀ + b.

11) Щоб знайти значення аргументу x, за якого значення лінійної функції y = ax + b дорівнює числу y₀, потрібно…

а) розв’язати рівняння y₀ = ax + b;

б) знайти значення виразу ay₀ + b.

12) Якщо x = 0, то значення прямої пропорційності y = ax дорівнює...

а) a; б) 0; в) 1.

13) Якщо x = 1, то значення прямої пропорційності y = ax дорівнює...

а) а; б) 0; в) 1.

14) Щоб знайти значення прямої пропорційності y = ax для заданого значення аргументу x₀, потрібно…

а) розв’язати рівняння x₀ = ax; б) знайти значення виразу ax₀.

15) Щоб знайти значення аргументу, за якого значення прямої пропорційності y = ax дорівнює y₀, потрібно…

а) розв’язати рівняння y₀ = ax;

б) знайти значення виразу ay₀.

2. 1) Серед функцій а)–е) вказати три, які є лінійними функціями:

а) y = 2x – 9; б) y = 2x² – 9; в) y =  ; г) y =  ; д) y = 4x; е) y = –5.

2) Серед лінійних функцій а)–е) вказати три, які є прямими пропорційностями:

а) y = 4x – 3; б) y = 4x; в) y = –3; г) y =  ; д) y = –0,4x; е) y = –0,4x + 1.

3) Серед функцій а)–е) вказати три, які є прямими пропорційностями:

а) y =  ; б) y =  ; в) y =  ; г) y =  ; д) y = 0,1x; е) y =  .

4) Серед лінійних функцій а)–е) вказати три, які є постійними:

а) y = 5x; б) y = 5; в) y =  ; г) y =  x; д) y = x + 3; е) y = 0x + 3.

Вказати значення функції (5–8):

5) y = 5x – 3, якщо x = 0:

а) 2; б) 5; в) –3.

6) y = 7x + 2, якщо x = 1:

а) 2; б) 9; в) 7.

7) y = 4x, якщо x = 0:

а) 0; б) 4; в) не існує.

8) y = –5x, якщо x = 1:

а) – ; б) 5; в) –5.

Вказати число, що є нулем функції (9–10):

9) y = x + 5:

а) 5; б) –5; в) 0.

10) y = 7x + 2:

а) 0; б) ; в) .

11) Серед лінійних функцій а)–е) вказати три, значення яких дорівнює 5 за значення аргументу 0:

а) y = 2x + 5; б) y = 5x + 2; в) y = 5x; г) y = 5x + 1; д) y = –x + 5; е) y = 5.

12) Серед лінійних функцій а)–е) вказати три, значення яких дорівнює 7 за значення аргументу 1:

а) y = 3x + 4; б) y = 7x + 1; в) y = 7x + 2; г) y = 2x + 7; д) y = –2x + 9; е) y = 2x + 5.

13) Якщо x = 2, то значення функції y = 5x + 3…

а) дорівнює значенню виразу 52 + 3; б) дорівнює значенню виразу 5  2 + 3; в) є коренем рівняння 2 = 5x + 3.

14) Щоб знайти значення аргументу, за якого значення функції y = 2x + 5 дорівнює 20, потрібно…

а) знайти значення виразу 2  20 + 5; б) знайти значення виразу 220 + 5; в) розв’язати рівняння 20 = 2x + 5.

3. Записати (1–6):

1) три лінійні функції, що не є прямими пропорційностями і постійними;

2) три лінійні функції, що є прямими пропорційностями;

3) три лінійні функції, що є постійними;

4) три лінійні функції, значення яких дорівнює 4 за значення аргументу 0;

5) три лінійні функції, значення яких дорівнює 8 за значення аргументу 1;

6) пряму пропорційність, яка за значення аргументу 1 набуває значення:

а) 5; б) –3; в) .

Знайти значення функції (7–9):

7) y = 3x + 2, якщо значення аргументу x дорівнює 0; 1; 4;

8) y = 4x – 5, якщо значення аргументу x дорівнює 0; 1; –2;

9) y = 9x, якщо x = 0; x = 1 і x = –2.

Знайти нулі функції (10–12):

10) y = x – 10; 11) y = x + 8; 12) y = 7x + 4.

Знайти значення аргументу x, за якого значення функції (13–14):

13) y = –2x дорівнює 12; 14) y = –3x + 1 дорівнює 13.

№54. Варіант 2.

1. 1) Яка спільна назва функцій y = 3x – 4; y =   + 5; y = –9x + 1; y = –13x; y = 2 виду y = ax + b?

2) Яка спільна назва лінійних функцій y = 4x; y = –4x; y =  ; y = – ; y = 0,3x виду y = ax, a  0?

а) Постійні; б) обернені пропорційності; в) прямі пропорційності.

3) Яка спільна назва лінійних функцій y = 10; y = –3; y = 1,2; y = – виду y = b?

4) Яка область визначення будь-якої лінійної функції, у тому числі прямих пропорційностей і постійних, якщо вона не вказана?

а) (–; 0)(0; +) — множина всіх дійсних чисел, крім числа 0; б) (–; +) — множина всіх дійсних чисел; в) [0; +) — множина всіх невід’ємних чисел.

5) Що є областю значень лінійних функцій y = 2x + 3; y = –3x – 7; y = –6x; y = 0,1x виду y = ax + b, де a  0?

а) Множина всіх дійсних чисел; б) деяке одне число; в) множина всіх цілих чисел.

6) Що є областю значень лінійних функцій виду y = b?

а) Множина всіх дійсних чисел; б) множина всіх додатних чисел; в) число b.

Чому дорівнює значення (7–10):

7) лінійної функції y = ax + b, якщо x = 0?

а) b; б) a; в) a + b.

8) лінійної функції y = ax + b, якщо x = 1?

а) b; б) a + b; в) a.

9) прямої пропорційності y = ax, якщо x = 0?

а) 0; б) a.

10) прямої пропорційності y = ax, якщо x = 1?

а) 0; б) a.

11) Яке число є нулем лінійної функції y = ax + b, a  0?

а) ; б) ; в) – .

Доповнити запис (12–15).

12) Щоб знайти значення лінійної функції y = 5x + 6, якщо значення аргументу x дорівнює 2, потрібно…

а) розв’язати рівняння 2 = 5x + 6; б) знайти значення виразу 5  2 + 6.

13) Щоб знайти значення прямої пропорційності y = 4x, якщо значення аргументу x дорівнює 20, потрібно…

а) розв’язати рівняння 20 = 4x; б) знайти значення виразу 4  20.

14) Щоб знайти значення аргументу x, за якого значення лінійної функції y = 2x + 3 дорівнює 7, потрібно…

а) розв’язати рівняння 7 = 2x + 3; б) знайти значення виразу 2  7 + 3.

15) Щоб знайти значення аргументу, за якого значення прямої пропорційності y = 7x дорівнює 21, потрібно…

а) знайти значення виразу 7  21; б) розв’язати рівняння 7x = 21.

2. 1) Серед функцій а)–е) вказати три, що є лінійними функціями:

а) y =  ; б) y = 0,2x + 5; в) y =  ; г) y = 3x² – 4; д) y = 7; е) y = 3x.

2) Серед лінійних функцій а)–е) вказати три, що є прямими пропорційностями:

а) y = 0,6x; б) y = 0,6x + 5; в) y = 5; г) y = 100x; д) y =  ; е) y = 20x + 1.

3) Серед функцій а)–е) вказати три, що є прямими пропорційностями:

а) y =  ; б) y =  ; в) y =  ; г) y =  ; д) y = 0,2x; е) y = –5x.

4) Серед лінійних функцій а)–е) вказати три, що є постійними:

а) y = 9; б) y = 9x; в) y = x; г) y = –0,5x + 1; д) y = 0x + 7; е) y = –0,5.

Вказати значення функції (5–8):

5) y = –3x + 4, якщо x = 0:

а) –3; б) 0; в) 4.

6) y = 2x + 7, якщо x = 1:

а) 2; б) 7; в) 9.

7) y = –3x, якщо x = 0:

а) 0; б) –3; в) не існує.

8) y = 6x, якщо x = 1:

а) 6; б) 0; в) .

Вказати число, що є нулем функції (9–10):

9) y = x + 9:

а) 9; б) –9; в) 0.

10) y = 8x + 3:

а) 0; б) ; в) .

11) Серед лінійних функцій а)–е) вказати три, значення яких дорівнює 4 за значення аргументу 0:

а) y = 3x – 4; б) y = 3x + 4; в) y = 4x + 3; г) y = 4x + 1; д) y = –x + 4; е) y = 4.

12) Серед лінійних функцій а)–е) вказати три, значення яких дорівнює 9 за значення аргументу 1:

а) y = 9x + 1; б) y = 4x + 5; в) y = 2x + 7; г) y = x + 9; д) y = 12x – 3; е) y = 9x + 3.

13) Якщо x = 3, то значення функції y = 7x – 2…

а) дорівнює значенню виразу 73 – 2; б) дорівнює значенню виразу 7  3 – 2; в) є коренем рівняння 3 = 7x – 2.

14) Щоб знайти значення аргументу, за якого значення функції y = –3x + 7 дорівнює 27, потрібно…

а) знайти значення виразу –3  27 + 7; б) знайти значення виразу –327 + 7; в) розв’язати рівняння 27 = –3x + 7.

3. Записати (1–6):

1) три лінійні функції з коефіцієнтом 4 біля змінної x;

2) три лінійні функції з цілими коефіцієнтами;

3) три лінійні функції, що є постійними і які не набувають значень більших від 10;

4) три лінійні функції, значення яких дорівнює 9, якщо значення аргументу дорівнює 0;

5) три лінійні функції, значення яких дорівнює 4, якщо значення аргументу дорівнює 1;

6) пряму пропорційність, яка за значення аргументу 1 набуває значення:

а) 4; б) –2; в) .

Знайти значення функції (7–9):

7) y = 4x + 1, якщо значення аргументу x дорівнює 0; 1; 3;

8) y = 3x – 1, якщо значення аргументу x дорівнює 0; 1; –3;

9) y = 7x, якщо x = 0; x = 1 і x = –2.

Знайти нулі функції (10–12):

10) y = x – 15; 11) y = x + 6; 12) y = 8x – 3.

Знайти значення аргументу x, за якого значення функції (13–14):

13) y = –3x дорівнює 15; 14) y = –4x + 1 дорівнює 17.