12.2. Дробові раціональні рівняння

№21. Варіант 1.

1. 1) Яка спільна назва раціональних рівнянь x⁴ – 3x =  ; ; , у яких ліва або права частина — раціональні вирази, що містять ділення на вираз зі змінною?

2) За якої умови число x₀ є коренем рівняння ?

а) Якщо число x₀ є коренем рівняння A(x) = 0 і рівняння B(x) = 0; б) якщо число x₀ є коренем рівняння B(x) = 0 і не перетворює на нуль чисельник A(x); в) якщо число x₀ є коренем рівняння A(x) = 0 і не перетворює на нуль знаменник B(x).

Доповнити записи (3–8).

3) Щоб розв’язати дробове раціональне рівняння на основі рівності дробу нулю, потрібно звести рівняння до виду , де — раціональний дріб, та …

а) розв’язати ціле рівняння В(x) = 0 і виключити з його коренів ті, що перетворюють на нуль чисельник A(x); б) розв’язати ціле рівняння A(x) = 0 і виключити з його коренів ті, що перетворюють на нуль знаменник B(x).

4) Щоб розв’язати дробове раціональне рівняння виду на основі рівності дробів з однаковими знаменниками, потрібно…

а) розв’язати ціле рівняння B(x) = 0 і виключити з його коренів ті, що є коренями рівняння A(x) = C(x); б) розв’язати ціле рівняння A(x) = C(x) і виключити з його коренів ті, що перетворюють на нуль вираз B(x).

5) Щоб розв’язати рівняння виду на основі властивості пропорції, потрібно розв’язати рівняння A(x)  D(x) = B(x)  C(x) і виключити з його коренів ті, що перетворюють на нуль вирази…

а) A(x) і C(x); б) B(x) і D(x).

2. Серед дробових раціональних рівнянь а)–в)

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е)

вказати два, які зручно розв’язувати (1–3)...

1) за властивістю рівності дробу нулю; 2) шляхом прирівнювання чисельників; 3) використовуючи властивості пропорції.

Числа 2 і 5 — корені рівняння x² – 7x + 10 = 0. Вказати множину розв’язків рівняння (4–6):

4) :

а) 2; б) 5; в) 2 і 5.

5) :

а) 2; б) 5; в) 2 і 5.

6) :

а) 2; б) 5; в) 2 і 5.

Вказати найпростіший спільний знаменник дробів у рівнянні (7–8):

7) :

а) x + 2; б) x(x + 2); в) 5x(x + 2).

8) :

а) 20(x – 9); б) 20x(x – 9); в) x(x – 9).

Дано рівняння (9–12).

9) Вказати найпростіший спільний знаменник дробів у лівій частині рівняння:

а) x(x + 10); б) 12x(x + 10); в) 12(x + 10).

Вказати додатковий множник для дробу:

10)  :

а) x + 10; б) 12; в) 12(x + 10).

11) :

а) 12(x + 10); б) 12(x + 10); в) 12x.

12) :

а) 12x; б) 12(x + 10); в) x(x + 10).

Вказати ціле рівняння, до якого зводиться розв’язування дробового рівняння (13–14):

13)  на основі рівності дробів з однаковими знаменниками:

а) x² = 0; б) x² + 1 = 0; в) x² = 9x + 20.

14)  на основі властивостей пропорції;

а) (8x – 5)  x = 9x  (x +2); б) (8x – 5)  (x + 2) = 9x  x; в) (8x – 5)  9x = x + (x + 2).

3. Записати два дробові раціональні рівняння, які доцільно розв’язати (1–3)...

1) за властивістю рівності дробу нулю;

2) прирівнюючи чисельники;

3) використовуючи властивості пропорції.

За коренями 3 і 4 рівняння x² – 7x + 12 = 0 знайти множину розв’язків рівняння (4–6):

4) ; 5) ; 6) .

Знайти найпростіший спільний знаменник дробів у рівнянні і звести рівняння до виду (7–9):

7) ; 8) ;

9) .

Використавши зручний спосіб, звести дробове раціональне рівняння до цілого рівняння і вказати, яким умовам повинні задовольняти корені цілого рівняння (10–12):

10) ; 11) ; 12) .

№22. Варіант 2.

1. 1) Як називають раціональні рівняння, у яких ліва або права частина містить ділення на вираз зі змінною?

2) Серед рівнянь а)–е) вказати три, що є дробовими раціональними:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

3) За якої умови число a є коренем рівняння ?

а) якщо a — корінь рівнянь A(x) = 0 і B(x) = 0; б) якщо a — корінь рівняння A(x) = 0, за якого знаменник B(x)  0; в) якщо а — корінь рівняння B(x) = 0, за якого чисельник A(x)  0.

Доповнити записи (6–8).

4) Щоб розв’язати дробове раціональне рівняння на основі рівності дробу нулю, потрібно звести рівняння до виду та знайти корені…

а) рівнянь P(x) = 0 і Q(x) = 0; б) рівняння Q(x) = 0 і виключити з них ті, за яких P(x) = 0; в) рівняння P(x) = 0 і виключити з них ті, за яких Q(x) = 0.

5) Коренями дробового раціонального рівняння з однаковим знаменником C(x) є корені…

а) цілого рівняння C(x) = 0, за яких A(x)  B(x); б) рівняння A(x) = B(x), за яких A(x)  0 і B(x)  0; в) рівняння A(x) = B(x), за яких C(x)  0.

6) Коренями дробового раціонального рівняння є корені рівняння…

а) A(x)C(x) = B(x)D(x), за яких C(x)  0 і D(x)  0; б) A(x)D(x) = B(x)C(x), за яких A(x)  0 і B(x)  0; в) A(x)D(x) = B(x)C(x), за яких C(x)  0 і D(x)  0.

2. Серед дробових раціональних рівнянь а)–в)

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е)

вказати два, які зручно розв’язати (1–3)...

1) за властивістю рівності дробу нулю; 2) прирівнюючи чисельники; 3) використовуючи властивості пропорції.

Числа 3 і 7 — корені рівняння x² – 10x + 21 = 0. Вказати множину розв’язків рівняння (4–6):

4) :

а) 3; б) 7; в) 3 і 7.

5) :

а) 3; б) 7; в) 3 і 7.

6) :

а) 7; б) 3; в) 3 і 7.

Вказати найпростіший спільний знаменник дробів у рівнянні (7–8):

7) :

а) x + 4; б) 7x(x + 4); в) x(x + 4).

8) :

а) 5(x + 8); б) x(x + 8); в) 5x(x + 8).

Дано рівняння (9–12).

9) Вказати найпростіший спільний знаменник дробів у лівій частині рівняння:

а) x(x + 2); б) 4x(x + 2); в) 4(x + 2).

Вказати додатковий множник для дробу:

10) :

а) x; б) 4; в) 4x.

11) :

а) x + 2; б) 4(x + 2); в) 4.

12) :

а) x; б) x(x + 2); в) x + 2.

Вказати ціле рівняння, до якого зводиться розв’язування дробового рівняння (13–14):

13)  на основі рівності дробів з однаковими знаменниками:

а) x² – 4 = 0; б) x² = 5x – 6; в) 5x – 6 = x² – 4.

14)  на основі властивостей пропорції:

а) 5x + 1 = x + 2; б) (5x + 1)  (x + 1) = (x + 2) x; в) (5x + 1)  x = (x + 1)(x + 2).

3. Записати два дробові раціональні рівняння, які доцільно розв’язати (1–3)...

1) використовуючи властивості пропорції;

2) за властивістю рівності дробу нулю;

3) прирівнюючи чисельники.

За коренями 4 і 6 рівняння x² – 10x + 24 = 0 знайти множину розв’язків рівняння (4–6):

4) ; 5) ; 6) .

Знайти найпростіший спільний знаменник дробів у рівнянні та звести рівняння до виду :

7) ; 8) ;

9)  .

Використавши зручний спосіб, звести дробове раціональне рівняння до цілого рівняння і вказати, яким умовам повинні задовольняти корені цілого рівняння (10–12):

10) ; 11) ; 12) .

Відтворення і застосування теорії

Самостійні роботи

№23. Варіант 1.

Середній рівень

Розв’язати рівняння:

1. 1) x⁴ – 5x² + 4 = 0; 2) ; 3) .

2. 1) ; 2) .

3. 1) ; 2) .

Достатній рівень

Розв’язати рівняння:

1. 1) ; 2) .

2. .

3. .

Високий рівень

Розв’язати рівняння:

1. 1) ; 2) (2x + 1)⁴ – 29  (2x + 1)² + 100 = 0.

2. .

3. .

№24. Варіант 2.

Середній рівень

Розв’язати рівняння:

1. 1) x⁴ – 13x² + 36 = 0; 2) ; 3) .

2. 1) ; 2) .

3. 1) ; 2) .

Достатній рівень

Розв’язати рівняння:

1. 1) ; 2) .

2. .

3. .

Високий рівень

Розв’язати рівняння:

1. 1) ; 2) (x + 3)⁴ – 20  (x + 3)² + 64 = 0.

2. .

3. .

№25. Варіант 3.

Середній рівень

Розв’язати рівняння:

1. 1) x⁴ – x² – 12 = 0; 2) ; 3) .

2. 1) ; 2) .

3. 1) ; 2) .

Достатній рівень

Розв’язати рівняння:

1. 1) ; 2) .

2. .

3. .

Високий рівень

Розв’язати рівняння:

1. 1) ; 2) (x² + x)² – 8  (x² + x) + 12 = 0.

2. .

3. .

№26. Варіант 4.

Середній рівень

Розв’язати рівняння:

1. 1) x⁴ – 7x² – 18 = 0; 2) ; 3) .

2. 1) ; 2) .

3. 1) ; 2) .