3.5. Коэффициенты передачи при больших уровнях входных сигналов

При больших уровнях входного сигнала аналоговое электронное устройство перестает быть линейным. Это явление вызвано в первую очередь нелинейной зависимостью вольтамперных характеристик усилительных элементов. Рассмотрим нелинейное безынерционное устройство, характеристика передачи которого Y=f(X)приведена на рис.3.9. Введем в устройство отрицательную обратную связь с помощью линейного частотно-независимого четырехполюсника с коэффициентом передачиβ=Z/Y. ЗависимостьZ=βYтакже приведена на рис 3.9 в виде прямой линии во втором квадранте. Определим результирующую функцию передачи нелинейного устройства, охваченного обратной связью:

Y_OC=F(X), (3.17)

располагая характеристикой Y=f(X)и линейной функцией передачиβчетырехполюсика ОС. Для этого фиксируем одно из значений выходного сигналаY_OC(1). Согласно рис.3.9 значениюY_OC(1) соответствует разностный сигналΔ(1), который также откладываем по оси абсцисс, при этом сигнал на выходе четырехполюсника ОС будетZ(1)=βY_OC(1). Следовательно, фиксированномуY_OC(1) соответствует входной сигнал:X(1)=Δ(1)+Z(1). Выбирая другие значения сигналаY_OCи проводя аналогичные построения, получаем искомую функцию передачи (3.17), которая также приведена в виде пунктирной кривой на рис.3.9 Из рисунка видно, что криваяF(X) располагается ниже кривойf(X),кроме того, она имеет больший линейный участок При увеличении коэффициента передачи четырехполюсника-βлинеаризация функцииF(X)возрастает. Это следует и из основного соотношения для эквивалентного коэффициента передачи:

Если выбрать β>>1/K(Δ) в диапазоне изменения входного сигналаX, тоК_Э~1/βСледовательно, результирующий коэффициентК_Э устройства с ООС зависит только от коэффициента передачи четырехполюсника ОС и нелинейное устройство оказывается практически линейным Линеаризация функции (3.17) по сравнению сY=f(X)означает увеличение динамического диапазона устройства и, следовательно, уменьшение нелинейных искажений выходного сигнала. Это свойство обратной связи широко используется не только в аналоговых электронных устройствах.

Рис.3.9

Поскольку характеристика Y_OC=F(X)была построена безотносительно к типу обратной связи, то следует учесть, что линеаризация устройства происходит только в отношении характеристик соответствующихопределяющемуисопутствующему коэффициентам передачи(при линейном сопротивлении нагрузки) . Так, например, при последовательной ООС по току линеаризируются функции:I_2OC=f₁(E_Г) иU_2OC=f₂(E_Г). Остальные две функции передачи устройства:I_2OC=f₃(I_1OC) ,U_2OC=f₄(I_1OC) при введении этой связи не изменяются.

Наличие неидеальных условий на входе и выходе устройства качественно не изменяет эффект линеаризации, приводя лишь к количественным поправкам. Наконец, заметим, что при любом типе связи нелинейные искажения выходного сигнала всегда уменьшаются.

3.6. Устойчивость устройств с обратными связями

Пусть линейное частотно-зависимое аналоговое устройство с комплексным коэффициентом передачи K(jω), охвачено однопетлевой ООС линейным четырехполюсником с комплексным коэффициентом передачиβ(jω). Если на эти коэффициенты не наложены ограничения относительно их поведения в комплексной плоскости, то петлевое усиление, также являющееся комплексной функцией переменнойω, может оказаться равным действительному отрицательному числу:

K(jω_O)β(jω_O)=-a=-kβ , (3.18)

где ω_О-частота, для которой выполняется соотношение (3.18). Условие (3.18) означает, что отрицательная обратная связь на частотеω_Опревращается в положительную. Еслиа=1, то согласно основному соотношению (3.1), для эквивалентного коэффициента передачи устройства с ООС фактор связи на этой частоте равен нулю, а сам эквивалентный коэффициент передачи превращается в бесконечность. Рассмотрим, что происходит в устройстве при выполнении (3.18).Предположим, что на его вход в моментt=0 и далее действует узкополосный тепловой шум и в окрестности частотыω_Оимеет среднеквадратичную амплитудуx. Структурная схема устройства применительно к этому случаю изображена на рис.3.10. Предположим, что время распространения шумового сигналахпо петле связиkβ равноΔt_З. В момент времениt=0 Δ(t=0)=x(t=0)=x, поскольку в этот моментZ(t=0)=0. Через время задержкиt=ΔtЗ: Δ(t=ΔtЗ)=x+xkβ=x(1+kβ).Аналогично в момент времени равный двум временам задержки сигналаt2=2ΔtЗсигнал на входе устройстваΔ(2tЗ)=x+Δ(tЗ) kβ=x+kβ(x+kβx)=x[1+kβ+(kβ)2] и т. д.; в момент времениt=nΔ(tЗ):

Δ(t=nΔtЗ)=x[1+kβ+(kβ)2+(kβ)3+(kβ)4+ …..+(kβ)n](3.19)

Выражение в квадратных скобках в (3.19) представляет сумму геометрической прогрессии со знаменателем а=kβ. Известно, что приа<1 иn→∞ эта сумма конечна, а в противоположном случае:

LimΔ(t=nt_З)=x∞=∞ n→∞, a>1 (3.19^/)

Соотношение(3.19 ^/) показывает, что приkβ>1 уровень узкополосного шума в окрестности частотыω_Она входе устройства бесконечно возрастает. Следовательно, если бы устройство при больших уровня шума на входе оставалось линейным, то:

Lim Y_OC(t=nt_З)=∞

n→∞ ,kβ>1.

Практически вследствие ограничения токов в усилительных элементах уровень выходного шума на частоте ω₀:YOC(t→∞) оказывается конечным, при этом в устройстве возбуждаются колебания с частотойω₀, т.е. устройство превращается в генератор и теряет свойства усилителя или преобразователя аналоговых сигналов.

Приведем формулировку частотного критерия устойчивости устройства, охваченного однопетлевой ООС (критерий Найквиста-Михайлова). Если годограф петлевого усиления K(jω)β(jω) при изменении частоты от нуля до бесконечности не охватывает на комплексной плоскости точку (-1,j=0), то при замыкании петли отрицательной обратной связи устройство устойчиво. Если годограф петлевого усиления охватывает эту точку, то устройство оказывается неустойчивым и превращается в автогенератор. Таким образом, вводя отрицательную обратную связь для целенаправленного изменения показателей устройства или их стабилизации, необходимо обязательно проверять условия его устойчивости. Если устройство устойчиво, то для него справедливы все полученные ранее соотношения для коэффициентов передачи, входного и выходного сопротивлений и другие приведенные в главе результаты. Если же устройство неустойчивое, то для него отсутствуют все ранее приведенные соотношения.

Соотношение (3.19) показывает также, что при kβ<1обратная связь положительная, устройство не возбуждается, но если величинаkβ~1, то в частотной характеристике эквивалентного коэффициента передачи будет наблюдаться значительный подъем в окрестности частотыω₀. В самом деле,K_Э(jω)=K(jω)/[1-kβ] ,

при ω=ω₀знаменатель последнего выражения близок к нулю и поэтому величина модуляК_Э(jω₀)оказывается очень большой. Кроме того, если вследствие каких-либо дестабилизирующих факторов величинакβпревысит единицу, то устройство возбудится. Для устранения этого явления к поведению годографаK(jω)β(jω)на комплексной плоскости в окрестности точки (-1,j0) предъявляются некоторые требования. Для того, чтобы подъем АЧХ комплексного коэффициента передачиК_Э(jω)в окрестности частотыω₀не был заметным, требуется, чтобы при пересечении годографом петлевого усиления отрицательной оси комплексной плоскости его величина не превышала определенной величины. Например, часто полагается, чтобы на частотеω₀величинаkβ не превышала значение 0,2-«запас по амплитуде». Кроме того, поведение годографаk(jω)β(jω)в окрестности «опасной точки» (-1,j0) должно быть таким, чтобы его кривая на комплексной плоскости не находилась в площади сектора, ограниченного окружностью радиуса 0,2 и двумя лучами, выходящими из начала координат под углами +30⁰-30⁰и симметрично охватывающими отрицательную ось-«запас по фазе». При указанных требованиях к поведению годографа на комплексной плоскости и при монотонной АЧХ коэффициента передачиK(jω)в окрестности частотыω₀ , нормированная частотная характеристика эквивалентного комплексного коэффициента передачиК_Э(jω)не будет превышать 1/(1-0,2)=1,25 т.е. 25%, обеспечивая при этом достаточный запас устойчивости. Следует иметь в виду, что для исследования устойчивости устройства необходимо четко представлять какой тип связи в введен в него и использовать соответствующее петлевое усиление. Так при последовательной ООС по току необходимо исследовать годографK_Y(jω)β_Z(jω) на комплексной плоскости, при ООС по напряжению используется годографK_U(jω)β_U(jω) и т.д. Если ООС не идеальная, то критерий устойчивости применяется к годографу с учетом коэффициента ослабления сигнала, например, при последовательной ООС по току используется комплексный годографα_ПОСK_Yβ_Z. Дополнительные сведения об устойчивости устройств с обратными связями можно найти в специальной литературе по автоматическому регулированию и управлению.