5.7.1. Определения доверительных интервалов

Для определения доверительных интервалов оценки  необходимо знать ее закон распределения (плотность вероятности). Если закон распределения оценки известен, то для определения границ доверительного интервала при заданной доверительной вероятности Р_ДОВ следует воспользоваться следующим выражением

где Т1,Т2 - границы доверительного интервала.

W_ - плотность вероятности оценки .

Следует отметить, что в случае не симметричного распределения оценки  относительно его истинного значения m₁{}, определение доверительных границ будет неоднозначно, и необходимо принимать дополнительные меры для исключения неоднозначности.

В тех случаях когда закон распределения оценки  неизвестен, можно (если это удастся) ввести в рассмотрение новую случайную величину , связанную с , но обладающую той особенностью, что ее закон распределения известен. Определив доверительные границы для величин , можно, воспользовавшись связью между  и  найти доверительные границы для .

5.7.2. Доверительный интервал для среднего при известной дисперсии

Рассмотрим нормально распределенную последовательность случайных величин x_i, i=1,2,...,n. Среднее значение случайной величины x

будет распределено так же по нормальному закону с параметрами

Следовательно, для определения границ доверительного интервала с учетом симметрии нормального распределения и заданного значения доверительной вероятности получим выражение

. (3)

Значение Т2, при котором будет выполнятся последнее равенство, будет верхней границей доверительного интервала., нижняя граница в силу симметрии распределения будет равна Т1=-Т2. Для того, чтобы найти значение Т2, введем замену переменной

.

С учетом, сделанной замены выражение (3) примет вид

Последний интеграл подробно табулирован, и по заданному значению Р_ДОВ можно определить пользуясь таблицей, значение Z2. Z1 соответственно будет равно -Z2.

Фрагмент таблицы нормального распределения

x	P(x)	x	P(x)	x	P(x)
0.00	0.0000	0.30	0.2358	0.60	0.4615
01	0.0080	31	0.2434	61	0.4581
02	0.0160	32	0.2510	62	0.4647
03	0.0239	33	0.2586	63	0.4713

При определенных значениях Z2, Z1 выражение для доверительного интервала, внутри которого с вероятностью Р_ДОВ могут лежать значения математического ожидания, будет иметь вид

5.7.3. Доверительный интервал для среднего при неизвестной дисперсии

Закон распределения среднего значения в этом случае не известен. Однако, как было показано выше, для последовательности нормально распределенных случайных величин статистика

будет распределена по закону Стьюдента. Поскольку распределение Стьюдента симметрично, то для определения верхней границы получим выражение

.

Распределение Стьюдента подробно табулировано. Для определения значения верхней границы доверительного интервала Т2 необходимо знать значение Р_ДОВ и число степеней свободы , равное n-1, где n объем выборки, по которой определяется среднее значение х.

Фрагмент таблицы распределения Стьюдента (приложение 4)

(4)

	P
	0.70	0.80	0.90	0.95	0.98
1	1.963	3.078	6.314	12.706	31.821
2	1.386	1.886	2.920	4.303	6.965
.....	.............	.............	.............	.............	.............
29	1.055	1.311	1.699	2.045	2.462
30	1.055	1.310	1.697	2.042	2.457
	1.036	1.281	1.644	1.959	2.326

Следует отметить, что при технических расчетах значение Р_ДОВ обычно принимают равным 0,95. При определенном из (4) значении Т2 выражение для доверительного интервала примет вид