5.2.3. Распределение стьюдента

Пусть y и z независимые случайные величины. При этом

y- распределено по , аz - стандартизованная, нормально распределенная случайная величина.

Определим случайную величину вида

,

эта величина имеет распределение Стьюдента с n- степенями свободы (приложение 4). Плотность вероятности случайной величины, имеющей распределение Стьюдента, имеет вид

В качестве примера найдем закон распределения выборочного среднего при неизвестной дисперсии

т.е. данная величина имеет распределение Стьюдента.

5.2.4. F - распределение фишера

Пусть y₁ и y₂ - независимые случайные величины, распределенные по сn₁ и n₂ степенями свободы соответственно (приложение 6). Определим величину

.

Случайная величина - имеет распределение Фишера

с n₁ и n₂ - степенями свободы (приложение 5).

В качестве примера найдем закон распределения отношения выборочных дисперсий двух независимых случайных величин x, y.

если случайные величины x, y взяты из одной генеральной выборки, то и отношение- будет иметь распределение Фишера.

5.4. Отсев грубых погрешностей

Следует особо подчеркнуть, что отбрасывание аномальных значений, исходя только из статистических соображений, может оказаться весьма опасной процедурой. Дело в том, что их присутствие может говорить о том, что исследуемое явление отличается от предполагаемого экспериментатором.

Существует достаточно большое количество критериев, предназначенных для исключения из последовательности наблюдений грубых погрешностей (промахов). Рассмотрим один из критериев, основанный на использовании свойства распределения Стьюдента. В соответствии с данным критерием вначале вычисляются среднее и оценка дисперсии последовательности наблюдений в соответствии с выражениями (1), (2), а затем вычисляется статистика

,

где - экстремальный (наибольший или наименьший) элемент последовательности наблюдений. Статистикаt в случае нормального распределения последовательности наблюдений имеет распределение Стьюдента. На графике (Рис.1) дана зависимость параметра t_n распределения Стьюдента от числа экспериментальных данных при уровне значимости =0.05

Если для данного уровня значимости  выполняется условие t t_n, то наблюдение исключается. После чего, вычисляются оценки среднего и дисперсии для исправленной последовательности наблюдений и вновь выполняется проверка для экстремального значения исправленной последовательности. Процедура повторяется до тех пор, пока не выполнится условие t t_n. Статистика t_ определяется из таблицы приложения 3. Можно предположить, что данный критерий является завышенным, в результате чего будут

Рис.5.1.

отсеяны не только аномальные, но и часть полезных значений.