4.2. Случайная погрешность

Основная особенность случайной погрешности заключается в том, что она случайно изменяется при повторных измерениях одной и той же величины.

В общем случае погрешность является случайной функцией времени, которая отличается от классических функций математического анализа тем, что нельзя сказать, какое значение она примет в момент времени t_i.

4.2.1. Классификация случайных процессов

Как было отмечено выше, процесс, описывающий случайное явление, нельзя задать явной математической зависимостью, поскольку каждое наблюдение этого явления дает невоспроизводимый результат. Другими словами, любое наблюдение дает только один вариант из множества возможных.

Конкретная реализация процесса, описывающего случайное явление, называется выборочной функцией (или реализацией, если речь идет о наблюдении конечной длительности). Совокупность всех возможных выборочных функций, которые может дать случайное явление, называется случайным или стохастическим процессом. Следовательно, под реализацией случайного физического явления понимается один из возможных исходов случайного процесса.

Случайные процессы делятся на стационарные и нестационарные. В свою очередь стационарные случайные процессы делятся на эргодические и неэргодические. Классификация нестационарных случайных процессов осуществляется по особенностям их нестационарности.

СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Рассмотрим величину

называемую смешанным моментом порядка

Если момент первого порядка и смешанный момент второго порядка, не зависят от времениt₁, то случайный процесс (t) называется стационарным в широком смысле или слабостационарным. Если смешанные моменты любого порядка не зависят от времени t₁ , то процесс называется стационарным в узком смысле или строго стационарным.

ЭРГОДИЧЕСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Рассмотрим k реализаций случайного процесса . Введем величины

Если они не зависят от номера реализации i , то случайный процесс называется эргодическим. Эргодическими могут быть только стационарные процессы

Эргодические случайные процессы образуют очень важный класс случайных процессов, поскольку все свойства эргодических процессов можно определить по единственной выборочной функции. Стационарные случайные процессы, как правило, бывают эргодическими.

4.2.2. Основные характеристики случайных процессов

При первичной обработке результатов наблюдения ограничиваются достаточно узким кругом характеристик случайного процесса. К ним в первую очередь относятся:

1. Математическое ожидание (среднее значение), дисперсия, среднеквадратическое отклонение .

2. Корреляционная функция, радиус корреляции, энергетический спектр.

3. Функция распределения, плотность вероятности, характеристическая функция

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ И ДИСПЕРСИЯ

Математическое ожидание и дисперсия стационарной реализации случайного процесса характеризуют соответственно центр рассеяния и величину рассеяния данных (если иметь в виду измерения, то математическое ожидание можно соотнести с истинным значением измеряемой величины, а дисперсия характеризует степень возможного отклонения конкретного результата наблюдения от истинного значения). Математическое ожидание оценивается простым усреднением всех выборочных функций при произвольном фиксированном значении t₀

.

Дисперсия случайного процесса оценивается усреднением по всем выборочным функциям величины

.

СВОЙСТВА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ

Математическое ожидание является начальным моментом первого порядка. Для математического ожидания случайной величины  применяют обозначения m₁{ }, m_ . Кроме того, если необходимо подчеркнуть характер усреднения, применяют обозначения

- при усреднении по множеству выборочных функций,

- при усреднении по одной выборочной функции (эргодический случайный процесс).

Случайная величина называется центрированной.

СВОЙСТВА ДИСПЕРСИИ

Дисперсия является центральным моментом второго порядка. Для дисперсии применяются следующие обозначения m₁{(- m_)²},

M₂{}, D, ².

некоррелированы³