5.1. Оценки статистических характеристик случайного процесса

На практике вместо величин используют их оценки, полученные по независимым наблюдениям случайной величины

Особенностью оценки любого параметра случайного процесса является то, что относительно ее нельзя сказать, верна она или неверна, так как в определенном смысле задается она произвольно. Тем не менее желательно иметь некоторый критерий, который позволил бы определить качество оценки. Для определения качества оценки используют три критерия в соответствии с которыми:

• Оценка должна быть несмещенной.

• Оценка должна быть эффективной.

• Оценка должна быть состоятельной.

НЕСМЕЩЕННОСТЬ

Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание совпадает с ее истинным значением

ЭФФЕКТИВНОСТЬ

Оценка называется эффективной, если ее дисперсия при стремлении объема выборки n к бесконечности стремится к нулю

,

где - оценка какого либо параметра случайной величины.

СОСТОЯТЕЛЬНОСТЬ

Оценка называется состоятельной, если она при объеме выборки n, стремящемся к бесконечности, сходится по вероятности к истинному значению

,

т.е. вероятность того, что , где - как угодно малое положительное число, при n, стремящемся к бесконечности, стремится к нулю.

В качестве примера рассмотрим оценку среднего значения последовательности независимых случайных величин

т.е. оценка не смещена.

Покажем теперь, что оценка эффективна.

Откуда

Рассмотрим теперь оценку дисперсии

И так оценка дисперсии является смещенной. Однако это можно исправить если в качестве оценки для дисперсии взять величину

Следует отметить, что выражение (2) дает несмещенную оценку дисперсии, если в него вместо оценки среднего подставить математическое ожиданиеm_, действительно

5.2. Важнейшие функции распределения

5.2.1. Нормальное распределение

Плотность вероятности нормально распределенной случайной величины имеет вид

,

где m_x - математическое ожидание случайной величины,

² - дисперсия случайной величины.

Если ввести в рассмотрение стандартизованную случайную величину

то выражение для w(z) будет иметь вид

Действительно

Моменты распределения нормально распределенной случайной величины равны

5.2.2. Хи - квадра распределение

Пусть z₁, z₂, .........,z_n независимые стандартизованные нормально распределенные случайные величины.

Определим новую случайную величину

Эта величина называется (хи - квадрат) случайной величиной сn - степенями свободы (приложение 5).

Выражение для плотности вероятности этой величины имеет вид

Среднее значение и дисперсия случайной величины, распределенной по закону ,равны

Распределение - является частным случаем гамма распределения. Частными случаями- распределения являются распределения

Релея - ,

Максвелла - .

Распределение - при n  стремится к нормальному распределению. Так при n>30 величина - распределена приближенно по нормальному закону с математическим ожиданиеми дисперсией

В качестве примера найдем, чему равна дисперсия среднеквадратического отклонения