4.2.3. Корреляционная функция, энергетический спектр

Корреляционная функция R(t₁,t₂) характеризует степень связи между двумя значениями случайного процесса в точках t₁ и t₂ в случае стационарного процесса R(t₁,t₂)=R(t₁-t₂)=R(). Следует отметить, что эта связь носит стохастический, а не детерминированный характер. Энергетический спектр G() является преобразованием Фурье от корреляционной функции, он характеризует распределение энергии случайного процесса по частоте.

СВОЙСТВА КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ

.

Для стационарного случайного процесса формула упрощается

.

Из последнего выражения следует, что

,

обозначим через R₀() нормированную функцию корреляции

Введем стандартизованную случайную величину

Рассмотрим неотрицательную величину

Откуда следует, что значение нормированной функции корреляции R₀() лежит в интервале

.

Корреляционная функция является симметричной функцией

Две случайные величины называются некоррелированными, если для них выполняется условие

.

Энергетический спектр случайного процесса G() в соответствии с теоремой Хинчина- Винера связан с функцией корреляцией соотношением

Энергетический спектр является неотрицательной функцией частоты. Энергетический спектр белого шума

4.2.4. Функция распределения, плотность вероятности, характеристическая функция

Пусть  - случайная величина и x - произвольное действительное число. Вероятность того, что  примет значение, меньшее чем х, называется функцией распределения вероятностей случайной величины 

.

Пусть задана неотрицательная функция w(x), удовлетворяющая условию

.

Если выполняется условие

,

то w(х) называется плотностью вероятности случайной величины.

Преобразование Фурье от плотности вероятности называется характеристической функцией случайного процесса

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Пусть случайная величина  принимает значения на интервале [a, b] (не обязательно конечном), тогда

СВОЙСТВА ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ

СВОЙСТВА ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ

5. Основные понятия математической статистики

Аппарат математической статистики является основным при обработке результатов наблюдений, поскольку только с его помощью удается получить оценки значений измеряемой величины.

Рассмотрим две, наиболее часто используемые, характеристики случайной величины 

m_ - описывающую центр ее рассеяния и - описывающую величину рассеяния. Значения этих величин можно определить, воспользовавшись выражениями

К сожалению, практическая ценность этих формул невелика, т.к. плотность вероятности случайного процесса w(x) до проведения эксперимента неизвестна (если предположить, что вид закон распределения случайной величины известен, то до начала эксперимента неизвестны его параметры. ).