Завдання 3. ФункціЇ розподілу та щільності неперервної випадкової величини
Приклад 7. Для неперервної випадкової величини Х задана функція розподілу:
Необхідно:
Знайти значення параметра С із умови неперервності
.
Побудувати графік
.Обчислити ймовірності попадання у вказані інтервали
,
,
,
,
,
.Знайти функцію щільності розподілу
і побудувати її графік.
Розв’язання: Для визначення параметра С використаємо властивість функції розподілу (3): . Тоді
.
Значить, функція розподілу ймовірностей набуває вигляду:
Графік функції розподілу ймовірностей зображений на рисунку 11:
.
Рисунок 11
Обчислити ймовірності попадання у вказані інтервали:
,
,
,
,
,
.
Знайдемо
функцію щільності розподілу
і побудуємо її графік. Враховуючи, що
,
маємо
Графік функції зображений на рисунку 12.
Рисунок 12
ЗАДАЧІ
Для неперервної випадкової величини Х задана функція розподілу . Необхідно:
Знайти значення параметра С із умови неперервності . Побудувати графік .
Обчислити ймовірності попадання у вказані інтервали.
Знайти функцію щільності розподілу і побудувати її графік.
4.1.
,
,
,
,
,
,
.
4.2.
,
,
,
,
,
,
.
4.3.
,
,
,
,
,
,
.
4.4.
,
,
,
,
,
,
.
4.5.
,
,
,
,
,
,
.
4.6.
,
,
,
,
,
,
.
4.7.
,
,
,
,
,
,
.
4.8.
,
,
,
,
,
,
.
4.9.
,
,
,
,
,
,
.
4.10.
,
,
,
,
,
,
.
4.11.
,
,
,
,
,
,
.
4.12.
,
,
,
,
,
,
.
4.13.
,
,
,
,
,
,
.
4.14.
,
,
,
,
,
,
.
4.15.
,
,
,
,
,
,
.
4.16.
,
,
,
,
,
,
.
4.17.
,
,
,
,
,
,
.
4.18.
,
,
,
,
,
,
.
4.19.
,
,
,
,
,
,
.
4.20.
,
,
,
,
,
,
.
4.21.
,
,
,
,
,
,
.
4.22.
,
,
,
,
,
,
.
4.23.
,
,
,
,
,
,
.
4.24.
,
,
,
,
,
,
.
4.25.
,
,
,
,
,
,
.
Завдання 4. Числові характеристики неперервної випадкової величини
Приклад
8. Неперервна
випадкова величина Х
задана
функцією щільності розподілу
типу
.
Необхідно
знайти параметр С
та інтегральну функцію
.
Побудувати графіки
та
.
Обчислити числові характеристики
,
,
,
,
.
Розв’язання:
Для
визначення параметра С
використаємо властивість функції
щільності розподілу (12):
.
Врахуємо вигляд заданої функції і перепишемо це співвідношення з урахуванням властивостей визначених інтегралів:
,
,
,
,
,
,
,
.
Тоді має вигляд:
Згідно з визначенням функції розподілу маємо:
для
:
;
для
:
;
для
:
Тоді
Знайдемо математичне сподівання та дисперсію:
.
Обчислимо
Тоді
.
Середнє квадратичне відхилення
.
Згідно з визначенням (15) мода є максимум функції щільності. Тоді обчислення моди − це є задача про пошук максимуму функції: за необхідною умовою існування екстремуму треба визначити похідну, прирівняти її до нуля, розв’язати рівняння, корені якого будуть точки підозрілі на екстремуми.
,
,
тоді,
,
,
.
−
точка
підозріла на екстремум. Враховуючи
вигляд функції щільності, зокрема, це
парабола, в якої гілки направлені вниз,
можемо зробити висновок, що ця критична
точка
є максимумом функції, тобто
.
Для
обчислення медіани використаємо
співвідношення
.
Зрозуміло, що
,
тоді
,
,
або
.
Це
рівняння можна розв’язувати наближено
з використанням чисельних методів,
наприклад, методу половинного ділення.
При цьому слід врахувати, що
.
Для розв’язання рівняння можна
використати стандартну функцію EXCEL −
Подбор
параметра.
Тоді можна вважати в нашому випадку, що
.
За визначеними функціями щільності та розподілу побудуємо їх графіки. Обчислимо значення функцій у 10-12 точках, які належать заданому інтервалу. В перелік цих точок треба включити моду, математичне сподівання та медіану.
-
x
1
0.3
0
1.5
0.328
0.158
2
0.338
0.325
2.5
0.328
0.492
2.525
0.327
0.5
2.6
0.324
0.525
3
0.300
0.650
3.5
0.253
0/789
4
0.188
0.900
4.5
0.103
0.973
5
0
1
Графіки функцій та зображені на рисунках 13, 14.
|
|
|
Рисунок 13 |
Рисунок 14 |
|
ЗАДАЧІ
Неперервна
випадкова величина Х
задана
функцією щільності розподілу
типу
.
Необхідно
знайти параметр С
та інтегральну функцію
.
Побудувати графіки
та
.
Обчислити числові характеристики
,
,
,
,
.
Вид функції
та границі інтервалу
наведені в таблиці.
-
№ варіанта
а
b
1.
3
9
2.
5
12
3.
3
12
4.
6
14
5.
7
15
6.
7
13
7.
9
16
8.
2
14
9.
2
9
10.
2
12
11.
1
7
12.
1
6
13.
-4
4
14.
3
8
15.
1
6
16.
3
10
17.
4
11
18.
5
11
19.
-11
0
20.
-12
0
21.
5
12
22.
9
16
23.
1
10
24.
4
9
25.
2
7