Числові характеристики випадкових величин та їх властивост

Закон розподілу ймовірностей як для дискретних, так i для непе­рервних випадкових величин дає повну iнформацiю про них. Проте на практиці нeмaє потреби так докладно описувати ці величини, а достатньо знати лише певні параметри, що характеризують їх icтотні ознаки. Ці параметри i називають числовими характеристиками випадкових величин. Числові характеристики поділяють на два типи: точкові та інтервальні.

Найчастіше на практиці використовують точкову характеристику, яку називають математичним сподіванням.

Tepмін «математичне сподiвання» випадкової величини Х є синонімом­ терміну «cepeднє значення» випадкової величини Х.

Математичним сподіванням називається величина

для ДВВ -

, (12)

для НВВ -

. (13)

Якщо неперервна випадкова величина Х визначена лише на проміжку , то

. (14)

Модою (Мо) дискретної випадкової величини Х називають те її можливе значення, якому вiдповiдає найбiльша ймовiрнiсть появи.

Модою для неперервної випадкової величини Х називають те її можливе значення, якому вiдповiдає максимальне значення щiльно­стi ймовiрностi:

(15)

Якщо випадкова величина має одну моду, то такий розподiл ймовірностей називають одномодальнuм;якщо розподiл має двi моди – двомодальним i т. iн. Іcнують i такі розподiли, якi не мають моди. Їх називають антимодальними.

Медiаною (Ме) неперервної випадкової величини Х називають те її значення, для якого виконується piвність ймовiрностей подiй та :

,

або

,

тоді за формулою (4) маємо

,

за формулами (5-6) одержимо

,

,

отже

. (16)

Отже, рівняння (16) є рівнянням для визначення медіани.

Враховуючи зв’язок і наведемо ще одне рівняння для визначення медіани

. (17)

­

Математичне сподівання називають центром тяжіння, центром розподілу або центром розсіювання. Для вимірювання розсіювання використовують інтервальну числову характеристику, яку називають дисперсією.

Для визначення дисперсії використовують центровану випадкову величину – відхилення випадкової величини Х від свого математичного сподівання . Зазначимо, що математичне сподівання такого відхилення дорівнює нулю:

.

Дисперсією випадкової величини називається математичне сподівання квадрата відхилення цієї величини від свого математичного сподівання:

(18)

Використання властивостей математичного сподівання дозволяє це співвідношення записати у вигляді:

. (19)

Це дозволяє дати визначення дисперсії наступним чином: дисперсія випадкової величини − це є різниця між математичним сподіванням квадрата випадкової величини та квадратом математичного сподівання.

Для ДВВ дисперсію можна визначити за формулами:

(20)

або

. (21)

Для НВВ:

(22)

або

. (23)

Слiд пам'ятати, що дисперсiя не може бути вiд'ємною величиною .

Отже, дисперсiя характеризує квадрат розсiювання випадкової величини вiдносно свого математичного сподiвання. Тому доцiльно мати числову характеристику такої вимiрності, як i сама випадкова величина. Такою числовою характеристикою є сepeднє квадратичне відхилення.

Середнім квадратичним вiдхиленням випадкової величини Х називають кopiнь квадратний iз дисперciї:

. (24)