Завдання 2. Числові характеристики дискретної випадкової величини

Приклад 5. Маємо три ящики. У першому мiстяться 6 стан­дартних i 4 бракованi однотипнi деталi, у другому − 8 стан­дартних i 2 бракованi деталi, а в третьому − 5 стандартних i 5 бракованих. Iз кожного ящика навмання беруть по однiй деталi. ДВВ Х − число стандартних деталей серед трьох вилучених.

1. Знайти ряд розподілу дискретної випадкової величини Х.

2. Побудувати многокутник ймовірностей.

3. Знайти функцію розподілу та накреслити її графік.

4. Обчислити , , , .

Розв'язання: Зробимо аналіз задачі та визначимо, які конкретні значення може набути ДВВ Х .

Серед трьох навмання взятих деталей число стандарт­них може бути 0; 1; 2; 3.

У табличнiй формi закон розподiлу цієї дискретної випадкової величини можна записати:

	0	1	2	3

Обчислимо ймовiрностi . Із цією метою позначимо:

− поява стандартної деталі з першого ящика;

− поява стандартної деталі з другого ящика;

− поява стандартної деталі з третього ящика.

Тоді , , − поява бракованих деталей відповідно із першого, другого і третього ящиків. Імовірності цих подій визначаємо за класичним означенням:

, , .

Використаємо співвідношення для протилежних подій та обчислимо:

,

,

.

Зазначимо, що випадкові події , , є незалежні та сумісні. Визначимо ймовірності того, що усі взяті 3 деталі браковані, тобто з першого ящика навмання взята бракована деталь, з другого, і з третього. Інакше кажучі, кількість стандартних деталей дорівнює нулю:

.

Аналогічно обчислимо всі інші ймовірності з використанням алгебри подій і теорем суми та добутку ймовірностей:

.

Занесемо одержані значення в таблицю та перевіримо обчислення за властивістю ряду розподілу:

	0	1	2	3
	0,04	0,26	0,46	0,24

Будуємо многокутник розподілу (рисунок 7):

Рисунок 7

Обчислимо інтегральну функцію розподілу за визначенням згідно з властивостями.

1) ;

2) ;

3)

4)

5) =

=

+

Інтегральна функція має вигляд:

Г рафік функції зображено на рисунку 8.

Рисунок 8

Обчислюємо числові характеристики:

,

,

,

.

Приклад 6. Партія з 10 деталей містить 8 стандартних. Навмання відібрані дві деталі. ДВВ Х − число стандартних деталей серед двох вилучених.

1. Знайти ряд розподілу дискретної випадкової величини Х.

2. Побудувати многокутник ймовірностей.

3. Знайти функцію розподілу та накреслити її графік.

4. Обчислити , , , .

Розв'язання: Зробимо аналіз задачі та визначимо, які конкретні значення може набути ДВВ Х .

Серед двох навмання взятих деталей число стандарт­них може бути 0, 1, 2.

У табличнiй формi закон розподiлу цієї дискретної випадкової величини можна записати:

	0	1	2

Обчислимо ймовiрностi . Імовірності цих подій визначаємо за класичним означенням:

.

Аналогічно обчислимо всі інші ймовірності:

,

.

Занесемо одержані значення в таблицю та перевіримо обчислення за властивістю ряду розподілу:

	0	1	2

Будуємо многокутник розподілу (рисунок 9):

Рисунок 9

Обчислимо інтегральну функцію розподілу за визначенням згідно з властивостями.

1) ;

2) ;

3)

4) =

+ =

Інтегральна функція має вигляд:

Графік функції зображено на рисунку 10.

Рисунок 10

Обчислюємо числові характеристики:

,

,

, тоді .

ЗАДАЧІ

5. Знайти ряд розподілу дискретної випадкової величини Х.

6. Побудувати многокутник ймовірностей.

7. Знайти функцію розподілу та накреслити її графік.

8. Обчислити , , , .

2.1. Є три ящики. В першому ящику знаходиться 7 стандартних і 3 браковані деталі, в другому ящику – 3 стандартних і 7 бракованих, в третьому – 5 стандартних і 5 бракованих. З кожного ящика навмання беруть по одній деталі. Дискретна випадкова величина Х – число стандартних деталей серед трьох вилучених.

2.2. Прилад складається з чотирьох незалежно працюючих елементів. Ймовірність того, що перший елемент вийде з ладу, дорівнює 0,2, для другого, третього і четвертого елементів ці ймовірності відповідно дорівнюють 0,1; 0,4; 0,3. ДВВ Х – число елементів, що вийдуть з ладу в даний момент часу.

2.3. В урні знаходиться 2 стандартні і 5 бракованих деталей. Деталі з урни вилучаються по одній без повертання. ДВВ Х – число бракованих деталей серед трьох вилучених навмання.

2.4. Маємо дві урни. В першій знаходиться 6 чорних і 3 білих кулі, в другій – 4 білих і 5 чорних куль. З кожної урни навмання беруть по 2 кулі. ДВВ Х – число чорних куль серед чотирьох вилучених.

2.5. В ящику 13 деталей, 3 з них браковані. Навмання беруть 4 деталі. ДВВ Х – число бракованих деталей із чотирьох вилучених.

2.6. Проводяться послідовні незалежні випробування чотирьох приладів на надійність. Ймовірність того, що перший прилад буде надійним при випробуванні, дорівнює 0,9, для другого, третього і четвертого відповідно – 0,8; 0,7; 0,6. ДВВ Х – число приладів, що надійні.

2.7. В урні знаходиться 5 червоних, 5 синіх, 6 жовтих і 7 білих куль. Навмання беруть п’ять куль. ДВВ Х – число кольорових куль серед п’яти вилучених.

2.8. В ящику міститься 10 стандартних і 4 бракованих деталі. Навмання беруть 4 деталі. ДВВ Х – число стандартних деталей серед чотирьох взятих навмання.

2.9. Робітник обслуговує 3 верстати-автомати. Ймовірність того, що протягом години перший верстат вимагатиме уваги робітника, постійна і дорівнює 0,01, для другого і третього верстату – 0,02 і 0,03 відповідно. ДВВ Х – число верстатів, що вимагатимуть уваги робітника.

2.10. В ящику знаходиться 7 стандартних і 4 бракованих деталі. Навмання беруть п’ять деталей. ДВВ Х – число стандартних деталей серед п’яти вилучених.

2.11. В ящику міститься 13 стандартних і 3 бракованих деталі. Навмання беруть 3 деталі. ДВВ Х – число стандартних деталей серед трьох відібраних.

2.12. Три стрільці зробили по одному пострілу по одній мішені. Ймовірність влучення при одному пострілу для першого, другого і третього відповідно дорівнюють 0,95; 0,85; 0,75. ДВВ Х – число влучень у мішень.

2.13. Маємо 2 ящики. В першому ящику міститься 5 стандартних і 5 бракованих деталей, в другому – 8 стандартних і 2 браковані. З кожного ящика навмання беруть по 2 деталі. ДВВ Х – число стандартних деталей серед чотирьох вилучених.

2.14. Робітник обслуговує 5 незалежно працюючих верстатів. Ймовірність того, що за зміну верстат не вимагатиме наладки для першого дорівнює 0,95, для другого – 0,85, для третього – 0,8, для четвертого – 0,75 і п’ятого − 0,7. ДВВ Х – кількість верстатів, які не вимагатимуть наладки за зміну.

2.15. В ящику міститься 5 деталей 1 сорту, 4 деталі 2 сорту і 3 браковані. Навмання беруть чотири деталі. ДВВ Х – число придатних деталей серед чотирьох вилучених.

2.16. В ящику міститься 6 деталей 1 сорту, 2 деталі другого сорту і 3 браковані. Навмання беруть чотири деталі. ДВВ Х – число придатних деталей серед чотирьох вилучених.

2.17. Маємо 4 урни. В першій та другій урні міститься по 7 червоних та 3 синіх кулі, в третій – 5 червоних та 5 синіх, а в четвертій – 3 червоні та 7 синіх. З кожної урни навмання беруть по одній кулі. ДВВ Х – число червоних куль серед вилучених.

2.18. Чотири стрільці зробили по одному пострілу по одній мішені. Відомі ймовірності поразки мішені при одному пострілі для кожного стрільця, які відповідно дорівнюють 0,95; 0,9; 0,85; 0,8. ДВВ Х – число влучень у мішень.

2.19. В ящику знаходиться 7 стандартних і 4 бракованих деталі. Деталі з ящика вилучаються по одній без повертання. ДВВ Х – число стандартних деталей серед трьох вилучених навмання.

2.20. В ящику знаходиться 6 стандартних і 3 бракованих деталі. Навмання беруть чотири деталі. ДВВ Х – число стандартних деталей серед чотирьох вилучених.

2.21. Відомо, що при виробництві однієї деталі ймовірність допустити брак дорівнює для першого робітника 0,1, для другого – 0,05. Навмання беруть дві деталі, виготовлені першим робітником і одну деталь – другим. ДВВ Х – число придатних деталей серед трьох навмання взятих.

2.22. В ящику міститься 4 деталі 1 сорту, 2 деталі другого сорту і 2 браковані. Навмання беруть чотири деталі. ДВВ Х – число придатних деталей серед чотирьох вилучених.

2.23. Три стрільці зробили по одному пострілу по одній мішені. Відомі ймовірності попадання в мішень при одному пострілі для кожного стрільця, які відповідно дорівнюють 0,95; 0,9; 0,8. ДВВ Х – число влучень у мішень.

2.24. Робітник обслуговує чотири незалежно працюючих верстати. Ймовірність того, що за зміну верстат вимагатиме наладки для першого дорівнює 0,5, для другого – 0,3, для третього – 0,1, для четвертого – 0,05. ДВВ Х – кількість верстатів, які не вимагатимуть наладки за зміну.

2.25. Прилад складається з чотирьох незалежно працюючих елементів. Ймовірність того, що перший елемент працює в даний момент часу, дорівнює 0,8, для другого, третього і четвертого елементів ці ймовірності відповідно дорівнюють 0,9; 0,7; 0,6. ДВВ Х – число елементів, які працюють на даний момент часу.