Розв’язання Інтегральна та диференціальна функції розподілу пов’язані між собою таким співвідношенням: . Диференціюємо інтегральну функцію розподілу. Маємо:

Або

Математичне сподівання

Дисперсія:

Ймовірність попадання значення випадкової величини в інтервал [0.5;1]:

Задача 2. Густина ймовірності деякої неперервної випадкової величини задана так:

.

Визначити параметр А, знайти вираз для густини ймовірності, інтегральну функцію розподілу, математичне сподівання, дисперсію, а також ймовірність того, що випадкова величина прийме значення на інтервалі [0.5;2].

Розв’язання

Параметр А визначаємо з рівності . Маємо

. Звідси . Отже, .

Інтегральна функція розподілу: .

1.

2.

3. .

Таким чином, інтегральна функція розподілу має вигляд: .

Математичне сподівання: .

Дисперсія:

Ймовірність попадання в інтервал [0.5;2].

.

Задача 3. Діаметр ялинкової кульки – випадкова величина, розподілена за нормальним законом розподілу з математичним сподіванням 5см і дисперсією 0,09см². Знайти ймовірність того, що розмір діаметру випадково взятої ялинкової кульки відрізняється від математичного сподівання за абсолютною величиною не більше ніж на 0,4см.

Розв’язання

Оскільки випадкова величина має нормальний закон розподілу, то застосуємо формулу:

. Підставляємо значення:

Задача 4. Маса сумки з підручниками студента першокурсника – випадкова величина, розподілена за нормальним законом розподілу з математичним сподіванням 5кг і середнім квадратичним відхиленням 0,5кг. Знайти ймовірність того, що маса сумки з підручниками не перевищить 5,5кг.

Розв’язання

Оскільки випадкова величина має нормальний закон розподілу, то застосуємо формулу:

. Маємо

Питання та задачі для самоконтролю:

1. Що таке диференціальна та інтегральна функції розподілу. Їх властивості та взаємозв’язок між ними.

2. Вказати основні закони розподілу НВВ.

3. Записати формули для обчислення математичного сподівання, дисперсії НВВ, а також формулу для обчислення ймовірності попадання значення НВВ в заданий інтервал.

4. Розв’язати такі задачі:

А) Функція розподілу деякої НВВ задана так: . Знайти параметри А і В, вираз для густини ймовірності, математичне сподівання, дисперсію, а також ймовірність того, що випадкова величина прийме значення в інтервалі [1;4].

Б) Випадкова величина розподілена за нормальним законом з математичним сподіванням 40 і дисперсією 200. Обчислити ймовірність попадання значення випадкової величини в інтервал [30;80].

Практичне заняття №8

Тема: Закон великих чисел, центральна гранична теорема, нерівність чебишова

Мета: сформувати знання про закон великих чисел, центральну граничну теорему

Основні знання, якими повинні оволодіти студенти під час вивчення теми: знати закон великих чисел, нерівність Чебишова в двох формах, найважливіші граничні теореми: теорема Бернуллі, теорема Чебишова, теорема Ляпунова, центральна гранична теорема.

Основні вміння, якими повинні оволодіти студенти під час вивчення теми: вміти застосовувати закон великих чисел, нерівність Чебишова, граничні теореми для розв’язування практичних задач.

Література

1. Барковський В.В., Барковська Н.В., Лопатін О.К. Теорія ймовірностей та математична статистика. – К.: ЦУЛ, 2002. - 448с.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1977. – 479с.

3. Гурман В.Е Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М., 1970.

План

1. Загальні поняття про закон великих чисел.

2. Нерівність Чебишова.

3. Граничні теореми.

Практичні завдання

Задача 1. Дисперсія випадкової величини Х дорівнює 0,001. Яка ймовірність того, що випадкова величина Х відрізняється від її математичного сподівання М(Х) більше ніж на 0,1?