Практичне заняття №5
Тема: Схема Бернуллі. Граничні теореми.
Мета: сформувати знання граничних теорем та умови їх застосування в схемі Бернуллі, навчити використовувати теореми в різних практичних задачах.
Основні знання, якими повинні оволодіти студенти під час вивчення теми: знати схему Бернуллі, володіти поняттям найімовірнішого числа, знати формулу Бернуллі, знати умови при яких потрібно застосовувати граничні теореми (формулу Пуассона, локальну та інтегральну теореми Муавра-Лапласа).
Основні вміння, якими повинні оволодіти студенти під час вивчення теми: вміти правильно визначати умови за яких застосовуються різні граничні теореми та розв’язувати практичні задачі, визначати найімовірніше число успіхів.
План
1. Схема повторних не залежних випробувань. Схема Бернуллі.
2. Властивості локальної та інтегральної функцій Лапласа.
3. Локальна теорема Муавра-Лапласа.
4. Інтегральна теорема Муавра-Лапласа.
Література
1. Барковський В.В., Барковська Н.В., Лопатін О.К. Теорія ймовірностей та математична статистика. – К.: ЦУЛ, 2002. - 448с.
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1977. – 479с.
3. Шефтель З.Г. Теорія ймовірностей. К.: Вища школа, 1994. –192с.
4. Гурман В.Е Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М., 1970.
5. Мешалкин Л.Д. Сборник задач по теории вероятностей. – Москва, МГУ, 1963. – 156с.
Методичні рекомендації
Опрацювати рекомендовану літературу.
Повторити поняття функції з курсу математики, а також поняття парності та непарності.
Вивчити формулу Бернуллі. Звернути увагу на умови при яких формулу Бернуллі застосовувати неможна. Знати формулу для визначення найімовірнішого числа успіхів. Вивчити формулу Пуассона. Вміти сформулювати та записати локальну і інтегральну теореми Муавра-Лапласа, озвучити умови їх застосування. Звернути увагу на властивості локальної та інтегральної функцій Лапласа та їхні графіки. Ознайомитися з таблицями значень цих функцій.
Практичні завдання
Задача 1. Монету кинуто 6 разів. Знайти ймовірність того що герб випаде 4 рази.
Розв’язання
Маємо
Застосуємо
формулу Бернуллі:
Задача 2. Середній брак при виробництві продукції становить 0,1%. Перевіряється партія з 1000 деталей. Яка ймовірність того, що бракованих буде від 2 до 4 деталей?
Розв’язання
За умовою
n=1000,
p=0.001→0,
λ=np=1000*0.001=1.
При
таких умовах застосовуємо формулу
Пуассона:
Отже,
маємо
Задача 3. При виробництві деякої продукції ймовірність виготовлення 1-го сорту приймається рівною 0,64. Визначити ймовірність того, що із 100 навмання взятих виробів 70 будуть першого сорту.
Розв’язання
Нехай подія А – виготовлення виробу першого сорту. За умовою n=100, k=70, p=0,64, q=0,36. оскільки n достатньо велике число, p не прямує ні до 0 ні до 1, то скористаємося локальною теоремою Муавра-Лапласа.
.
За
таблицею значень локальної функції
Лапласа знаходимо, що
.
Тому шукана ймовірність
.
Задача 4. Ймовірність виходу з ладу одного приладу дорівнює 0,1. Визначити ймовірність того, що за час Т зі 100 приладів вийде з ладу від 6 до 18 приладів.
Розв’язання
За умовою n=100, k1=6, k2=18, p=0,1, q=1-p=1-0,1=0,9
Скористаємося
інтегральною теоремою Муавра-Лапласа:
.
За таблицею значень інтегральної функції Лапласа знаходимо:
Ф(2,66)=0,4961, Ф(-1,33)=-Ф(1,33)=-0,4082.
Тому
Задача 5. Ймовірність появи події в кожному з 100 незалежних випробувань рівна 0,8. Знайти ймовірність того, що подія з’явиться не менше 75 разів.
Розв’язання
Вимога, що подія з’явиться не менше 75 разів означає, що число появи події можливе від 75 до 100 разів. Скористаємося інтегральною теоремою Муавра-Лапласа.
.
За таблицею знаходимо: Ф(5)=0,5, Ф(-1,25)=-Ф(1,25)=-0,3944. Тому
Питання та задачі для самоконтролю
Записати формулу Бернуллі.
Записати формулу найімовірнішого числа.
Записати формулу Пуассона. При яких умовах вона застосовується?
Сформулювати локальну та інтегральну теореми Муавра-Лапласа.
Розв’язати такі задачі:
А) Батарея зробила 14 пострілів по об’єкту, ймовірність влучення в якій 0,2. Обчислити найімовірніше число влучень і його імовірність.
Б) Що імовірніше – виграти у рівносильного противника 3 партії в шахи з 4 чи 5 з 8?
В) Ймовірність успіху в кожному з 300 незалежному випробуванні дорівнює 0,25. Яка ймовірність того, що успішними будуть:
1) рівно 75 випробувань;
2) від 50 до 100 випробувань;
3) не більше 75 випробувань?