Практичне заняття №4

Тема: Формула повної ймовірності

Мета: сформувати знання про проведення незалежних випробувань в рамках одного експерименту, навчити правильно висувати гіпотези про здійснення випадкової події, навчити знаходити ймовірність події за формулою повної ймовірності і ймовірність гіпотези за формулою Байєса.

Основні знання, якими повинні оволодіти студенти під час вивчення теми: знати формулу повної ймовірності і формулу ймовірності гіпотези (формула Байєса).

Основні вміння, якими повинні оволодіти студенти під час вивчення теми: вміти правильно висувати гіпотези про здійснення випадкової події, вміти застосовувати формулу повної ймовірності і ймовірності гіпотези при розв’язуванні задач.

План

1. Формула повної ймовірності.

2. Формула ймовірності гіпотези

Література

1. Барковський В.В., Барковська Н.В., Лопатін О.К. Теорія ймовірностей та математична статистика. – К.: ЦУЛ, 2002. - 448с.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1977. – 479с.

3. Шефтель З.Г. Теорія ймовірностей. К.: Вища школа, 1994. –192с.

4. Гурман В.Е Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М., 1970.

5. Мешалкин Л.Д. Сборник задач по теории вероятностей. – Москва, МГУ, 1963. – 156с.

Методичні рекомендації

7. Опрацювати рекомендовану літературу.

8. Повторити означення повної групи подій.

9. Вивчити формулу повної ймовірності, формулу Байєса і всі позначення в них. Звернути увагу, що гіпотези повинні утворювати повну групу подій.

Практичні завдання

Задача 1. У першому ящику 30 деталей, з яких 20 стандартних. У другому – 15 деталей, з яких 10 стандартних. З ІІ ящика беруть навмання одну деталь і перекладають її до І ящика.

а) знайти ймовірність того, що навмання взята після перекладання деталь з І ящика стандартна;

б) нехай відомо, що з І ящика вийнято стандартну деталь, знайти ймовірність того, що до І ящика переклали саме стандартну деталь.

Розв’язання

а) Нехай маємо подію В – після перекладання з І ящика взяли стандартну деталь. Про здійснення цієї події висуваємо такі гіпотези:

Н₁ – переклали стандартну деталь;

Н₂ – переклали нестандартну деталь;

Гіпотези утворюють повну групу подій – вони несумісні і одна з них обов’язково здійсниться.

Знайдемо потрібні ймовірності:

За формулою повної ймовірності запишемо

б) Для знаходження ймовірності першої гіпотези застосуємо формулу Байєса:

Задача 2. На фабриці виготовляють гвинти. Перша машина виготовляє 25%, друга – 35%, третя – 40; всіх гвинтів. Частка брака становить відповідно 5%, 4%, 2%. Яка ймовірність того, що випадково вибраний гвинт бракований?

Розв’язування

Нехай маємо подію В – взятий гвинт бракований. Висуваємо гіпотези:

Н₁ – гвинт виготовлено на І машині;

Н₂ – гвинт виготовлено на ІІ машині;

Н₃ – гвинт виготовлено на ІІІ машині.

За формулою повної ймовірності маємо:

Задача 3. В урну, що містить 2 кулі, вкинули білу кулю, після чого із урни навмання витягли одну кулю. Знайти ймовірність того, що витягнута куля буде білою, якщо рівно можливі всі передбачення про початковий склад куль по кольору.

Розв’язання

Нехай маємо подію В – витягнута біла куля. Висуваємо гіпотези:

Н₁ – в урні було 0 білих куль;

Н₂ –в урні було 1 біла куля;

Н₃ – в урні були 2 білі кулі.

За формулою повної ймовірності запишемо:

Задача 4. Ймовірність знищення літака з одного пострілу для І гармати дорівнює 0,2. для ІІ гармати – 0,1. Кожна гармата робить по одному пострілу, причому було одне влучення у літак. Яка ймовірність того, що влучила перша гармата?

Розв’язання

Нехай маємо подію В – літак знищено (одне влучення). Про здійснення події В висуваємо такі гіпотези:

Н₁ – обидві гармати влучили;

Н₂ – І гармата влучила, ІІ – ні;

Н₃ – І гармата не влучила, ІІ – так;

Н₄ – жодна з гармат не влучила.

Ймовірності цих гіпотез:

Умовні ймовірності будуть:

Отже, за формулою Байєса:

Питання та задачі для самоконтролю

12. Записати формулу повної ймовірності.

13. Записати формулу Байєса. Дати означення умовної ймовірності.

14. Розв’язати такі задачі:

А) Два стрільці незалежно один від одного роблять по одному пострілу по мішені. Ймовірність влучення першого – 0,8, другого – 0,4. Відомо, що є одне влучення. Знайти ймовірність того, в мішень влучив другий стрілець.

Б) У рибалки є три улюблених місця, куди він приходить з однаковою ймовірністю. Ймовірність кльову на І місці дорівнює 1/3, до другому – 1/2, на третьому – 1/4. Рибалка закинув вудку у навмання вибраному місці і риба клюнула. Знайти ймовірність того, що рибалка закинув вудку у першому місці.

В) Маємо два однакові ящики. У першому з них 8 пар взуття 41-го розміру та 6 пар 41-го розміру, а в другому – 10 пар 41-го розміру та 4 пари 42-го розміру. З вибраного навмання ящика витягли одну пару взуття 42-го розміру. Яка ймовірність того, що ця пара взята з першого ящика?