Практичне заняття №2

Тема: Комбінаторика. Ймовірність події.

Мета: сформувати уявлення про основні поняття комбінаторики, навчити знаходити ймовірність подій, застосовуючи різні означення.

Основні знання, якими повинні оволодіти студенти під час вивчення теми: знати означення, позначення та формули, за якими обчислюються кількість розміщень перестановок, комбінацій; класичне, геометричне та статистичне означення ймовірності та відповідні формули, властивості ймовірності, знати означення відносної частоти події.

Основні вміння, якими повинні оволодіти студенти під час вивчення теми: визначати вид сполуки, розв’язувати задачі на обчислення кількості сполук, обчислювати ймовірність подій за допомогою класичного та геометричного означень, визначати відносну частоту події.

План

1. Комбінаторика як розділ ма­те­матики. Сполуки. Види сполук.

2. Класичне означення ймовірності.

3. Геометричне означення ймовірності.

Література

1. Барковський В.В., Барковська Н.В., Лопатін О.К. Теорія ймовірностей та математична статистика. – К.: ЦУЛ, 2002. - 448с.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1977. – 479с.

3. Шефтель З.Г. Теорія ймовірностей. К.: Вища школа, 1994. –192с.

4. Гурман В.Е Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М., 1970.

5. Мешалкин Л.Д. Сборник задач по теории вероятностей. – Москва, МГУ, 1963. – 156с.

Методичні рекомендації

1. Опрацювати рекомендовану літературу.

2. Перед розв’язуванням задачі з комбінаторики визначте тип сполуки (розміщення з повтореннями та без, перестановки, комбінації)і відповідну формулу. Зверніть увагу на відмінність між розміщеннями та комбінаціями.

3. Вивчіть означення ймовірності та з’ясуйте сутність і властивості цього числа. Визначте за умов застосовується класичне, геометричне або статистичне означення ймовірності. Вивчіть відповідні формули і позначення в них.

Практичні завдання

Задача 1. На зборах присутні 30 осіб. Скількома способами можна обрати президію з 3 осіб – голова, заступник та секретар?

Розв’язання

Усі можливі варіанти складу президії – сполуки з 30 по 3. В цих сполуках має значення порядкове положення кожного елемента (важливо, яка саме особа буде головою, яка заступником, а яка секретарем бо всі виконують різні обов’язки). Тому ці сполуки – розміщення без повторень. Кількість таких розміщень така:

Відповідь: 24360

Задача 2. Скількома способами можна обрати чотирьох чергових з групи в 20 студентів?

Розв’язання

Усі можливі варіанти переліку чергових – сполуки з 20 по 4. оскільки всі чергові мають однакові обов’язки, то ці сполуки – комбінації з 20 по 4. А саме

Відповідь: 4845.

Задача 3. Скількома способами можна розсадити 5 осіб за круглим столом?

Відповідь:

Задача 4. У відділі працює 5 економістів та 9 інженерів. Скількома способами можна відібрати 2 економістів та 3 інженерів, якщо спеціалісти вважають рівноцінними?

Відповідь: способів.

Задача 5. Знайти ймовірність того, що число очок, яке випадає на гральному кубику при одному киданні, буде парним.

Розв’язання

Нехай маємо подію А – випадання парної кількості очок. Ймовірність події А шукаємо за класичним означенням ймовірності. Простір елементарних подій містить n=6 елементарних подій (всі можливі випадки), подія А містить m=3 сприятливі події (випаде або 2, або 4, або 6 очок). Тому

.

Задача 6. З урни, в якій є 12 білих та 8 чорних куль виймають навмання дві кулі. Яка ймовірність того, що обидві кулі будуть чорні?

Розв’язання

Нехай маємо подію А – з урни взяли 2 чорні кулі. Ймовірність події А шукаємо за класичним означенням ймовірності. Загальне число можливих випадків n дорівнює числу комбінацій з 20 по 2. Число випадків m, які сприяють події А становить дорівнює числу комбінацій з 8 по 2. Тому ймовірність події А така:

Задача 7. На площині накреслені два концентричні кола, радіуси яких 5 і 10 см відповідно. Знайти ймовірність того, що точка, кинута на вдачу у великий круг, попаде в малий круг. Вважається, що попадання точки в будь-яке місце великого кола рівноможливе.

Розв’язання

Нехай маємо подію А – попадання точки в коло меншого радіуса. Ймовірність події А шукаємо за геометричним означенням. Площа великого кола . Площа малого кола . Тоді ймовірність події А така:

Задача 8. При стрільбі була одержана відносна частота влучень 0,6. скільки було зроблено пострілів, якщо одержано 12 промахів?

Розв’язання

Нехай було зроблено n пострілів. Тоді число влучень дорівнює n-12, і відносна частота дорівнює , звідси n-12=0,6n, n=30.

Питання та задачі для самоконтролю

1. Що є предметом вивчення комбінаторики?

2. Що називають множиною та її елементами?

3. Які сполуки називають розміщеннями, перестановками, комбінаціями? За якими формулами обчислюють кількість цих сполук?

4. Що таке ймовірність події? Дати різні означення? В яких випадках використовують класичне та геометричне означення ймовірності.

5. Що таке відносна частота події і як її визначають?

6. Назвати основні властивості ймовірності та відносної частоти.

7. Розв’язати такі задачі:

А) Скільки всього шестизначних телефонних номерів, в кожному з яких жодна цифра не повторюється?

Б) Скількома способами можна купити 3 тістечка в кондитерській, де є 6 різних сортів?

В) Визначити ймовірність виграшу 6 номерів у лотереї 6 із 36.

Г) В коробці 7 куль, серед яких 4 білі. Навмання взяли 3 кулі. Яка ймовірність того, що всі взяті кули білі? Яка ймовірність того, що одна з них біла?

Д) Після бурі на ділянці між 40-м та 70-м кілометрами телефонної лінії обірвався провід. Знайти ймовірність того, що розрив виявився між 50-м та 55-м кілометрами.

Е) Відділ технічного контролю виявив 5 бракованих телевізорів у партії із випадково відібраних 100 телевізорів. Знайти відносну частоту появи бракованих телевізорів, а також якісних телевізорів. Яка їх сума?