Практичне заняття №3
Тема: Основні теореми додавання та множення ймовірностей.
Мета: сформувати знання основних теорем (додавання ймовірностей сумісних та несумісних подій, множення ймовірностей залежних та незалежних подій), також навички застосування основних теорем.
Основні знання, якими повинні оволодіти студенти під час вивчення теми: знати формулювання основних теорем (додавання ймовірностей сумісних та несумісних подій, множення ймовірностей залежних та незалежних подій), відповідні формули та позначення.
Основні вміння, якими повинні оволодіти студенти під час вивчення теми: вміти правильно застосовувати ту чи іншу теорему для визначення ймовірностей суми та добутку різних видів подій при розв’язуванні задач.
План
1. Теорема додавання ймовірностей несумісних подій
2. Теорема додавання ймовірностей сумісних подій
3. Теорема множення ймовірностей незалежних подій.
4. Теорема множення ймовірностей залежних подій.
Література
1. Барковський В.В., Барковська Н.В., Лопатін О.К. Теорія ймовірностей та математична статистика. – К.: ЦУЛ, 2002. - 448с.
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1977. – 479с.
3. Шефтель З.Г. Теорія ймовірностей. К.: Вища школа, 1994. –192с.
4. Гурман В.Е Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М., 1970.
5. Мешалкин Л.Д. Сборник задач по теории вероятностей. – Москва, МГУ, 1963. – 156с.
Методичні рекомендації
Опрацювати рекомендовану літературу.
Повторити означення різних видів подій: сумісні та несумісні, залежні та незалежні події, а також повної групи подій.
Вивчити формулювання основних теорем, відповідні формули та позначення. Звернути увагу на поняття умовної ймовірності та її позначення.
Практичні завдання
Задача 1. Стрілець стріляє по мішені, розділеної на три області. Ймовірність попадання в І область складає 0,45, в другу – 0,35. Знайти ймовірність того, що стрілець при одному пострілі попаде або в І область, а бо в ІІ область.
Розв’язання
Нехай маємо події
А – Стрілець влучив у І область.
В – Стрілець влучив в ІІ область.
С=A+B- Стрілець влучив або в І або в ІІ область. Так як події А, В несумісні, то за теоремою додавання ймовірностей несумісних подій запишемо Р(С)=Р(А)+Р(В)+0,45+0,35=0,8
Задача 2. Ймовірність влучення в мішень І стрільця дорівнює 0,8, ІІ – 0,9. Знайти ймовірність влучення в мішень хоча б одного стрільця.
Розв’язання
Нехай маємо події
А – І стрілець влучив у мішень.
В – ІІ стрілець влучив у мішень.
Тоді С=А+В – Хоча б один стрілець влучив у мішень. Події А і В – сумісні. Тому за теоремою додавання ймовірностей сумісних подій запишемо: Р(С)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ). Оскільки події А і В незалежні, то за теоремою множення ймовірностей незалежних подій запишемо Р(С)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)=Р(А)+Р(В)-Р(А)*Р(В)=0,8+0,9-0,8*0,9=0,98
Задача 3. Є три ящики з деталями. У І ящику знаходяться 5 деталей, з яких 3 стандартні; у ІІ – 12 деталей, з них 8 стандартних; у ІІІ – 16 деталей, з них 10 стандартних. З кожного ящика виймають по одній деталі. Яка ймовірність того, що всі деталі будуть стандартними?
Розв’язання
Нехай маємо такі події:
А – з І ящику взято стандартну деталь;
В - з ІІ ящику взято стандартну деталь;
С - з ІІІ ящику взято стандартну деталь;
Тоді подія АВС означає, що взяті 3 деталі – стандартні. Оскільки події А, В, С – незалежні, то за теоремою множення ймовірностей незалежних подій запишемо:
Задача 4. Студент складає екзамен з математичної статистики. З 30 питань він знає 25. Яка ймовірність того, що він відповість на три питання екзаменаційного білета?
Розв’язання
Нехай маємо події:
А – студент знає І питання екзаменаційного білету;
В – студент знає ІІ питання екзаменаційного білету;
С – студент знає ІІІ питання екзаменаційного білету;
Тоді АВС – студент знає всі три питання. Оскільки події А, В, С – залежні, то за теоремою множення ймовірностей залежних подій запишемо
Задача 5. У кожному з 3 ящиків лежить по 10 деталей. У І ящику 2 деталі браковані, у ІІ – 3, у ІІІ – 1. З кожного ящика беруть по одній деталі. Знайти ймовірність того, що серед низ є принаймні одна стандартна.
Розв’язання
Нехай маємо події:
А - деталь, взята з І ящика, стандартна;
В - деталь, взята з ІІ ящика, стандартна;
С - деталь, взята з ІІІ ящика, стандартна;
Тоді
.
.
За формулою
маємо Р(А)=1-0,2*0,3*0,1=1-0,006=0,994.
Питання та задачі для самоконтролю
Сформулювати теореми додавання ймовірностей для несумісних та сумісних подій.
Дати означення умовної ймовірності випадкової події.
Сформулювати і записати теореми множення ймовірностей залежних та незалежних подій.
Розв’язати такі задачі:
А) У партії є 20 коробок цукерок, причому в 4 з них цукерки шоколадні. Товарознавець бере навмання одна за одною три коробки. Яка ймовірність того, що всі три взяті коробки виявляться з нешоколадними цукерками?
Б) Є три ящика по 10 деталей в кожному. В І ящику 8, в ІІ – 7 і в ІІІ – 9 стандартних деталей. З кожного ящика виймають по одній деталі. Знайти ймовірність того,
що всі три взяті деталі виявляться стандартними;
тільки дві деталі стандартні;
принаймні одна деталь стандартна.
В) Ймовірність спізнення потягу №1 рівна 0,2, а потягу №2 0,64. Знайти ймовірність того, що
спізниться лише один потяг;
обидва потяги спізняться;
спізниться принаймні один.