Практичне заняття №17-18

Тема: Кореляційний аналіз

Мета: Сформувати у студентів уявлення про кореляційний аналіз, навчити знаходити лінійну функцією залежності між ознаками двовимірної вибірки методом "натягнутої нитки", методом сум, методом найменших квадратів, обчислювати коефіцієнт кореляції, а також аналізувати його значення.

План

1. Кореляційна таблиця. Встановлення виду зв’язку.

2. Метод "натягнутої нитки".

3. Метод сум.

4. Метод найменших квадратів.

5. Коефіцієнт кореляції та його властивості.

Література

5. Мармоза А.Т. Практикум з математичної статистики: Навч. посібник. – К.: Кондор, 2004. – 264с.

6. Колде Я.К. Практикум по теории вероятностей и математической статистике: Учебное пособие. – М.: Высшая школа, 1991. – 157 с.:ил.

Методичні рекомендації

Вивчити означення таких понять як статистична залежність, кореляційна залежність, рівняння регресії. Знати методи побудови рівняння регресії (метод "натягнутої нитки", метод сум, метод найменших квадратів). Вміти описати алгоритм використання кожного з методів, а також вміти записувати визначальні системи для коефіцієнтів рівняння регресії в кожному з методів. Звернути увагу на поняття коефіцієнта кореляції, його властивості, знати формулу для його обчислення, вміти трактувати одержаний результат.

Практичні завдання

Задача 1. Знайти вибіркове рівняння регресії У на Х за даними спостережень: а) методом "натягнутої нитки", б) "методом сум", в) "методом найменших квадратів". Обчислити коефіцієнт кореляції та дати його тлумачення.

Х	30	28	26	31	15	20	23	27	28	22	21	23	26	30	31	25	25	27	28	23
У	47	45	41	49	25	33	37	43	46	35	35	37	42	47	49	40	39	43	45	37

Розв’язання

а) метод "натягнутої нитки"

Будуємо кореляційне поле за вибіркою (Х;У):

Через точки кореляційного поля проводимо пряму так, щоб в обох півплощинах знаходилася приблизно однакова кількість точок. На цій прямій обираємо дві точки. Наприклад, А(15,25) і В(30,47). Складаємо систему для визначення коефіцієнтів лінійного рівняння залежності між Х та У: y=ax+b. Система буде такою:

. Отже, рівняння має вигляд: у=1,47х+3

б) метод сум

Умовно ділимо вибірку на дві рівні частини (по 10 елементів). Тоді визначальна система для коефіцієнтів а та b буде такою:

Обчислимо всі суми, які присутні в системі. Розрахунки заносимо в таблицю:

	X	Y	XY	X^2	Y^2
	30	47	1410	900	2209
	28	45	1260	784	2025
	26	41	1066	676	1681
	31	49	1519	961	2401
	15	25	375	225	625
	20	33	660	400	1089
	23	37	851	529	1369
	27	43	1161	729	1849
	28	46	1288	784	2116
	22	35	770	484	1225
Сума	250	401
	21	35	735	441	1225
	23	37	851	529	1369
	26	42	1092	676	1764
	30	47	1410	900	2209
	31	49	1519	961	2401
	25	40	1000	625	1600
	25	39	975	625	1521
	27	43	1161	729	1849
	28	45	1260	784	2025
	23	37	851	529	1369
Сума	259	414
Загальна сума	509	815	21214	13271	33921

Тоді система набуває вигляду:

. Відповідне рівняння у=1,6х+0,1

в) метод найменших квадратів

Визначальна система для коефіцієнтів рівняння така:

Відповідне рівняння у=1,49х+2,83.

Коефіцієнт кореляції обчислюємо за формулою:

Проміжні обчислення:

; ;

,

Тоді . Оскільки коефіцієнт кореляції дуже близький до 1, то залежність між Х та У можна вважати лінійною.

Питання та задачі для самоконтролю:

8. Що таке статистична та кореляційна залежність?

9. Які існують методи побудови рівняння залежності? В чому їх сутність?

10. За власною вибіркою С побудувати рівняння залежності методом "натягнутої нитки", методом сум, методом найменших квадратів. Обчислити коефіцієнт кореляції та пояснити одержаний результат.