Внутрифирменное управление - Заложнев А.Ю

Полученное нами решение представлено в параметрической форме, т.е. существует некоторое множество решений, соответствующее различным перестановкам элементов внутри вектора U*, сохраняющим справедливость условий (4.3.8) через выполнение соотношения (4.3.7) для, вообще говоря, различных k. Также следует отметить, что вектор U* может содержать не только k первых, но, вообще говоря, k любых ненулевых элементов, удовлетворяющих условиям (4.3.7) и (4.3.8).

Для того, чтобы получить решение задачи для конкретных значений u(i)*, u(j)*, т.е. определить: какие u(i)* ¹ 0, а какие u(j)* = 0, нам необходимо воспользоваться дополнительной информацией, содержащейся в ее условиях. Попытаемся использовать знание соотношений между коэффициентами d(i) для нахождения вектора U** из множества U всех допустимых векторов U*, который и будет решением задачи (4.3.4) при соблюдении условий (4.3.8) в виде:

(4.3.9) F (D,U )= ån d (i )u (i )* → max

i =1

при условиях

n

(4.3.10) å (1− d(i))u(i) = B,

i=1

u(1)* = s(1) u(2)* = s(2)

×××

(4.3.11) u(k)* = a (k) s(k) < s(k) u(k+1)* = 0

×××

u(n)* =0,

где вектор U* может иметь не только k первых, но, вообще говоря, k любых ненулевых элементов, и удовлетворяет усло-

виям (4.3.8).

Вектор U** будем искать непосредственно в виде

(4.3.11), т.е. в виде u(i)** ¹ 0, i = 1, k; u(j)** = 0, j = k + 1, n.

151

где rÎ {1,…,R( j )}.

Для доказательства теоремы нам необходимо показать,

что

еk1 di (D1,k1)ui (U*1,k1) >

(4.3.14) i= 1

> kе( j,r) di (Dj,k( j,r))ui (U* j,k( j,r))

i= j

" rÎ {1,…,R(j)},

где di(·,·) = d(i,·,·), ui(·,·) = u(i,·,·),

и либо j ¹ 1, либо k(j,r) ¹ k1.

Рассмотрим два подмножества: D1, k1 Ì D и любое подмножество вида Dj, k ( j,r) Ì D. Допустим, что l элементов этих подмножеств совпадают (для полностью несовпадающих элементов доказательство является более простым).

Произведем перестановку элементов подмножеств D1, k1 и Dj, k ( j,r) следующим образом:

1.В качестве первых l элементов каждого из подмножеств возьмем их совпадающие элементы, расположенные в порядке убывания.

2.На оставшихся, соответственно k1–l для подмножества D1, k1 и k ( j,r)–l для подмножества Dj, k ( j,r), позициях расположим оставшиеся (несовпадающие) элементы этих подмножеств, беря их также в порядке убывания. Вновь образованные подмножества будем обозначать D1, k1 и Dj, k(j,r).

Правило определения номера r задавать не будем.

Для первых l элементов подмножеств Dj, k ( j,r) и D1, k1 имеет место:

d1 (D1, k1) = d1 (D1, k(1,r)), d2 (D1, k1) = d2 (D1, k(1,r)), …, dl (D1, k1) = dl (D1, k(1,r)).

В качестве примера подмножеств D1, k1 и Dj, k(j,r) рассмотрим следующие подмножества (совпадающие элементы подмножеств подчеркнуты):

D1, k1 (k1=15): 0.59 .58 .57 .56 .55 .54 .53 .52 .51 .50 .49

.48 .47 .46 .45,

153

Доказательство.

Разделим левую и правую части неравенства (4.3.16) на

(4.3.17), получим:

Обозначим

(4.3.19) d = min{d (l+1), d (l+2),…, d (k)} D1, k1;

(4.3.20) d = max{d (l+1), d (l+2),…, d (k (1,r))} D1, k(1,r).

Очевидно в силу упорядоченности D1, k1 и D1, k (1,r):

d = d (k) D1, k1 , а d = d (l+1) D1, k (1,r).

Также очевидно, в силу того, что только l элементов D1, k1 и D1, k (1,r)совпадают, имеет место

(4.3.21) d > d ,

и поскольку в силу условий задачи

0 < di(·) < 1, "i: n ³ i ³ 1,

155

где Uk1 Un и Un – соответственно k1-мерное и n-мерное евклидовы пространства. При этом проекции вектора U*1, k1 на остальные n-k1 координатных осей Un равны нулю, т.е. имеет

место:

U** = U*1, k1 .

Проекции на оси 1,…k1-1 являются максимально допус-

тимыми. Т.е. u(i)=s(i), i = 1,k1- 1; а проекция на ось k1 задается соотношением u(k1)=α (k1) s(k), где коэффициент α (k1) имеет вид (4.3.7) при k=k1, т.е. U*1, k1 и будет являться решением задачи (4.3.4) при ограничениях (4.3.5):

i= 1

AU ≤ A0.

Вообще говоря, можно рассматривать множество D, подмножества D1, k1 и Dj, k(j,r) как вектора в соответствующих евклидовых пространствах размерности n, k1, k(j,r), соответственно, а выражение, стоящee в правой части равенства (4.3.32), – как скалярное произведения в пространстве размерности n, а в левой части этого равенства − как скалярное произведение в пространстве размерности k1.

Решение задачи (4.3.9) – (4.3.11) и доказательство теоремы 4.3.3 могут быть проиллюстрированы рисунками 4.3.1 и 4.3.2, которые для наглядности исполнены в различных масштабах. На этих рисунках в целях упрощения (не требуется перехода от Dj, k (j,r) к Dj, k (j,r) и от D1, k1 к D1, k1 ) и красоты изображения в качестве подмножества Dj, k (j,r) представлено подмножество D1, k (1,r).

На обоих рисунках по оси абсцисс (H) представлены скалярные произведения (4.3.12) и (4.3.13) в виде последовательно отложенных на этой оси входящих в них слагаемых. А по оси ординат (G) таким же образом представлены скалярные произведения, стоящие, соответственно, в левой и правой части неравенства (4.3.14). Соответственно, G1 и G2, H1 и H2 – текущие значения этих произведений.

159