Теорема 4.

Пусть u=u_II ( f 0, ,  0) – решение задачи (1)-(3), где .

Тогда:

1) Оно единственно.

2) Имеет место, так называемая, априорная оценка:

.

Очевидно, что из (4) следует непрерывная зависимость u_II от f.

Доказательство.

1) Первое утверждение доказывается аналогично теореме 2 (от противного).

2)Получим априорную оценку, используя принцип Дионеля.

Объяснение оценок:

1) Следует из принципа Дионеля: .

2) По теореме 1, т.к. она справедлива для цилиндра Ц_{ ,T} (tt- ).

Т.о. априорная оценка доказана. При этом const(T) T.

Замечание 3 (о локальности решения).

Все рассуждения справедливы лишь на конечных временах (T 1). При T ничего сказать нельзя. Оценка равномерна на любом T, но фиксированном. Она неравномерна по И, тем не менее, принцип максимумов справедлив и в случае переменных коэффициентов.

Замечание 4 (о решении задачи для струны).

Метод разделения переменных (метод Фурье) для задачи:

u=T(t)V(x) 

Аналогично предыдущему методу Фурье из задачи (4)-(4’) находим j, соответствующие V_j, _j 0, j=1,2,…  _j=_j² 

Формулы (6)-(8) – это и есть ответ.

§6. Уравнение теплопроводности во всем пространстве

Предварительное замечание (постановка проблемы).

Будем считать, что

Главный вопрос: корректна ли задача?

Ответ можно получить из явной формулы решения задачи (1)-(2).

Так же как и раньше, задача разбивается на два случая:

1)

2)

Причем вторая задача сводится к первой из принципа Дионеля.

Теорема 1 (Теорема Пуассона о классическом решении задачи (1)-(2)).

Классическое решение задачи в 1-ом случае - определяется формулой:

, где ядро G(x, ,t) называется ядром Пуассона и имеет вид:

Напоминание о преобразованиях Фурье.

Справедлива формула обращения (обратное преобразование Фурье):

Определим- множество финитных бесконечно дифференцируемых функций.

Носитель: supp( f(x))

Компакт Шварца:

supp( f_ (x))=[- ,].

Можно показать, что

и убывает при быстрее, чем

Свойства преобразований Фурье.

1) Равенство Парсеваля: , т.е.допускает изометрию.

2а) ,т.е.

2б) ,т.е.

Доказательство.

2а)

2б) Аналогично.

Замечание 1.

Рассмотрим преобразование Фурье в многомерном случае.

Свойство 2а) приобретает вид: .

Доказательство теоремы Пуассона.

В дальнейшем ограничимся случаем n=1. Случай n>1 рассматривается аналогично.

Здесь

При t>0 .

Вычислим интеграл (8).

Т.о. теорема Пуассона доказана.

Теорема 2.

По принципу Дионеля решение этой задачи:

Свойства ядра Пуассона.

1) Пусть 0<t< , x, R¹. Тогда, если , то.

2) При t >0 G удовлетворяет уравнению теплопроводности:

3) При t >0: , т.е. G – плотность нормального распределения случайной величины x.

Математическое ожидание:M(x)= .

Дисперсия: D²(x)=2a²t.

4)

Т.о. получаем задачу Коши для G:

G – функция Грина задачи Коши (1)-(2).

Замечание 2.

Рассмотрим вопрос о том, когда доказанная формула дает классическое решение задачи (1)-(2)? Для этого необходимо выполнение условий:

1)

2)

Заметим, что Действительно:

.

Сходится ли I равномерно? Будем считать, что

- сходится при t>0  I сходится равномерно по соответствующей теореме из математического анализа.

Осталось доказать только пункт 2), что и делает следующая лемма.

Лемма 1.

Пусть .

Тогда , где.

И, т.о., формула Пуассона дает классическое решение рассматриваемой задачи (1)-(2).

Доказательство.

, т.к. .

. Сделаем замену переменных:

при , т.к.

, т.к. по теореме о предельном переходе под знаком интеграла.

И, т.о., лемма 1 доказана.

Замечание 3.

Какова скорость распространения тепла в бесконечно-длинном стержне?

Глава 3 «Элементы теории обобщенных функций»

§1. Эвристические соображения

Переформулируем результат леммы 1.

Сделаем замену переменных: , положимх=0,  заменим на x. Тогда:

. Лемма 1 говорит о том, что

Поставим вопрос: Можно доказать, что поточечной сходимости здесь нет, т.к. в этом случае

Но инженеры (прикладные математики) все-таки вводят функцию – предел G_ . Они говорят, что , где (x) определяется соотношением:, т.е.(x) – функционал на C(R¹).

Функцию называют ещефункцией Дирака.

- интеграл Лебега-Стилтьеса, где g(x) – функция, ограниченная вариацией.