§7. Классическое преобразование Фурье

Напоминание (классическое преобразование Фурье).

Пусть fL₂(R¹).

Теорема 1 (теорема обращения).

, еслиfL₂(R¹).

Без доказательства.

Замечание 1.

Если fD(R¹), то теорема 1 доказывается легко (тривиально), ноD(R¹)всюду плотно вL₂(R¹).

Лемма 1 (Лебега).

Пусть.

ТогдаФурье-образ функции существует, и выполняются свойства:

1)

2)

Пример 1.

Лемма 2 (об Фурье-образе производной).

Пустьf(x) – непрерывно дифференцируема, и

Тогда

Доказательство.

, т.к., т.к. f(x)L¹(R¹). Лемма 2 доказана.

Замечание 2.

Следствие из леммы 2: чем больше суммируемых производных имеет оригинал, тем быстрее убывает его Фурье-образ, т.е.:

Пусть

Тогда 

В силу леммы Лебега 

 или

Лемма 3.

Чем быстрее убывает оригинал на бесконечности, тем более гладкой функцией является предел Фурье-образа, т.е. если

Доказательство.

Лемма очевидна по модулю двух фактов:

1) Это доказывается «в лоб», т.е. с помощью тупого дифференцирования (воспользовавшись теоремой о дифференцировании несобственных интегралов по параметру).

2) Лемма Лебега.

Следствие.

(является бесконечно дифференцируемой).

§8. Обобщенное преобразование Фурье (для обобщенных функций медленного роста)

Следующее определение некорректно.

«Определение 1» (обобщенное преобразование Фурье).

Пусть fD’.

Замечание 1 (некорректность определения 1).

Формула (1) в случае, когда fи - обычные функции, есть тождество, но с точки зрения обобщенных функций она некорректна, т.к.(p)D, но

Исправим это. Для этого сузим класс обобщенных функций, тем самым расширив класс основных функций.

Определим SиS’.

Определение 2 (пространство Шварца).

Рассмотрим пространство -пространство Шварца– пространство бесконечно дифференцируемых функций, убывающих на бесконечности быстрее любой степениx, да еще вместе со всеми своими производными, т.е.:

Пример 1.

, но(x)D.

Определение 3 (обобщенные функции медленного роста).

Пространство линейных непрерывных функционалов на S– пространствоS’–, называется пространствомобобщенных функций медленного роста.

Т.к. S  D, то S’  D’.

Пример 2.

, но

сходится не для каждогоS (пример:).

Лемма 1 (инвариантность преобразования Фурье).

S(R¹)инвариантно относительно преобразования Фурье в следующем смысле:

Доказательство.

Пусть (x) S. Будем основываться на свойствах оператора Фурье.

Т.к. , а, то

.

Осталось доказать, что- изоморфно.

- инъекция и сюръекция.

Эта часть доказательства опущена (смотри в книге Колмогорова).

Т.о. мы доказали, что для обобщенных функций медленного роста формула (1) корректным образом определяет преобразование Фурье, т.е.:

Пример 3 (Фурье-образ функции Дирака).

Итак, .

Пример 4 (формула обращения).

Для обобщенных функций из S’ имеет место формула обращения Фурье:

Покажем это, используя теорему обращения для классического преобразования Фурье.

Пример 5 (разложение -функции на плоские волны).

§9. Оператор Лапласа и обобщенные функции

Пример.

Докажем, что в D’ выполняется формула:

Известно, что, если r0, то , где- обычная функция.

Воспользуемся 2-ой формулой Грина:

, где n – внешняя нормаль к   .

Положим в этой формуле:

Заметим, что .

При,т.к. (x)D  из формул (2) и(4) 

Подставляя (6) в (5), получим:

, что и требовалось.

Определение (фундаментальное решение оператора Лапласа).

Фундаментальным решением оператора Лапласа в называют функцию

Замечание 1.

Из примера вытекает, что фундаментальным решением оператора Лапласа является

Это вытекает из того, что в силу примера.

Замечание 2 (решение уравнения Пуассона).

Из (8) и (9) вытекает решение уравнения Пуассона: - финитная с носителем₀ - ограниченная область в R³. Его решение:

Эта формула следует из того, что . Для строгого доказательства следует подставить (10) в уравнение Пуассона и воспользоваться результатом примера (формулой (1)).

Уравнение Гельмгольца.

- уравнение Гельмгольца.

Рассмотрим функцию

Эта функция удовлетворяет уравнению

Подставим (13) в (12) и обозначим . Тогда мы получим (11).

Здесь -волновой вектор.

Фундаментальное решение - _k (x,  ):

Факт 1 (фундаментальные решения уравнения Гельмгольца).

Имеются два фундаментальных решения:

При k=0 эта функция становится фундаментальным решением оператора Лапласа:

.

Задача.

Доказать факт 1, воспользовавшись правилом Лейбница и формулой:

.

Проблема.

Какое из этих двух решений плохое?

Глава 4 «Метод ВКБ – Маслова для уравнений, содержащих малый параметр при производной»

ВКБ – Вентуель Крамерс Бриллиэн.

Метод ВКБ – для О.Д.У.

Метод Маслова – для У.Ч.П.

§1. Метод регулярной теории возмущения (для О.Д.У.)

Постановка задачи.

Дано уравнение:

0< <<1 и - асимптотический ряд.

Если  =0, то

Если .

Требуется изучить y(x, ) при 0, если все известно о y₀(x).

Решение задачи.

Вид решения:

Здесь y₀, y₁, y₂,… - подлежат определению так, чтобы функция (3) приближенно удовлетворяло уравнению (1).

-подставим это выражение в (1).

Соберем все коэффициенты при одинаковых степенях  :

Обозначим: - по0 оператор зависит регулярно.

Используем принцип независимых коэффициентов в (4).

Если L₁( y(x,))=O_x(), то

Если L₁( y(x,))=O_x( ²), то

И т.д.

§2. Метод сингулярной теории возмущения для О.Д.У. (метод ВКБ)

Постановка задачи.

Проблема: как ведет себя y=y(x, ) при 0?

Замечание 1.

К (1) приводит уравнение из предыдущего параграфа, если

Действительно, введем новую переменную: . Тогда:

, т.е. мы имеем уравнение (1) с медленно меняющейся частотой. Действительно:

уравнение из предыдущего пункта принимает вид:

, что есть уравнение (1).

Замечание 2.

Метод регулярной теории возмущения приводит к абсурду:

Подставим (2) в (1), соберем члены при  ^k и приравняем их к нулю. Получим:

нет такого анзатца.

Замечание 3.

Пусть Тогда решение уравнения (1) легко находится:

, т.к.

Запишем решение в следующем виде:, где

Идея решения.

Анзатц приближенного решения (1) будем искать в виде искаженной плоской волны, т.е. в следующем виде:

Здесь S(x), (x) - функции, которые подлежат определению.

Подставим (2) в (1). Для этого понадобится формула Лейбница:

Замечание.

- волновое число. , т.е. в данной задаче рассматривается коротковолновое приближение.

Подставим (2) в (1), используя (4), и соберем члены  ⁰,  ¹,  ².

Пусть

Это уравнение на фазу S.

Пусть

Утверждение 1.

Если S(x) и (x) удовлетворяют (i) и (ii), то:

Утверждение 2.

1) S(x), удовлетворяющее (i), имеет вид:

2) (x), удовлетворяющее (ii), имеет вид:

Обоснование формулы (7).

Сделаем замену: .

Пусть - гладкая функция.

Подставим в (ii):

, что и требовалось.

Теорема (о решении задачи).

Пусть (x)>0.

Тогда ВКБ-решение уравнения (1) имеет вид:

Эта функция удовлетворяет уравнению (1) с точностью до

Эта теорема автоматически вытекает из утверждений 1 и 2.

§3. Метод ВКБ-Маслова для уравнения Шредингера

Постановка задачи.

Вспомним уравнение Шредингера и поставим для него задачу Коши:

Cчитается, что h<<1 (т.е. здесь роль  играет h).

Замечание 1 (переход к классической механике).

Если h0, то данная задача переходит в задачу классической механики.

-уравнение Ньютона.

Идея решения.

Решение уравнения (1) ищем в виде:

Распишем вторую частную производную по x этого решения. Результат будет аналогичен полученному в предыдущем параграфе.

Найдем частную производную по t функции (3):

Представим (1) в операторной форме:

Подставим (3) в (1), используя (4) и (4’) и соберем члены при степенях h. В результате получим:

Пусть

Пусть

Утверждение 1 (о решении уравнения Шредингера).

Если S и  - гладкие решения (i) и (ii), то функция (3) является приближенным с точностью до O(h²) решением уравнения (1), т.е.

Доказательство очевидно в силу конструкции.

Решение задачи.

Из начальных условий для (1) следуют начальные условия (i’) и (ii’) для уравнений (i) и (ii) соответственно:

- задача Коши для уравнения Гамильтона Якоби , где.

Ее решение определяется системой Гамильтона-Якоби:

(ii) линейное уравнение 1-ого порядка. Способ его решения подробно был рассмотрен в §1 и §3 главы 1.

Утверждение 2 (о переходе к уравнению неразрывности).

Замена сводит задачу(ii)-(ii’) к следующей задаче:

Уравнение (6) – уравнение неразрывности.

Здесь - потенциальное поле.

Замечание 2 (решение уравнения неразрывности).

Решение этой задачи:

Здесь x₀(x,t) определяется из уравнения: x=X(x₀,t). А X и J определяются как решение задачи:

Замечание 3 (о доказательстве утверждения 2).

Оно доказывается на основе формулы:

Утверждение 3.

Это автоматически следует из утверждения 2.

Замечание 4.

Итак, мы получили, что асимптотическое решение (1)-(2):

Здесь функции S и  определяются формулами (8’), (9) и решениями (i)-(i’) и (ii)-(ii’).

X(x₀,t), x₀R³, определяется из уравнения Ньютона: .

Заключительное замечание ко всему курсу.

Спасибо всем, кто слушал (читал) мои лекции. Желаю всем благополучно сдать экзамены.

Профессор Белов В.В.

20.12.2000г.

Студент 3 курса Ярчук С.В.

3.02.2001г.

Предметный указатель

а

алгоритм решения задачи Коши для квазилинейного уравнения 14

б

безопасность ядерного реактора 36

в

векторное поле 14

волновое уравнение колебаний 8

волновой вектор 65

д

действие по Гамильтону 24

дельта образная последовательность 53

з

задача \«ГИБДД\» 12

задача для струны 43

задача Коши для квазилинейного уравнения 13

задача о трубе 19

задача Штурма-Лиувилля 34

закон Фурье 32

и

инвариантность преобразования Фурье 62

интеграл в смысле главного значения 53

интегральная поверхность 14

к

квазилинейное уравнение 11

классическое преобразование Фурье 59

компакт Шварца 44

концентрация 31

корректно-поставленная задача 39

коэффициент диффузии 31

коэффициент диффузии нейтронов 37

коэффициент теплопроводности 31

краевое условие I-ого рода 32

краевое условие II-го рода 32

краевое условие III-го рода 32

л

лагранжева поверхность 29

лемма Гамильтона 27

Л

Лемма Лебега 59

Лемма Лиувилля 22

л

линейная замена переменных в обобщенных функциях 56

линейное уравнение 1-ого порядка 9

линейное уравнение бегущей волны 9

м

матрица Якоби 22

метод ВКБ 67

метод Фурье 34

мираж 29

н

начально-краевая или смешанная задача 32

непрерывная среда 8

нестационарное уравнение Гамильтона-Якоби 23

носитель 44

носитель ( - функции 51

о

обобщенная функция 50

обобщенно регулярные функции 50

обобщенное преобразование Фурье 61

обобщенное уравнение Гамильтона-Якоби 28

обобщенные функции медленного роста 62

общее линейное уравнение 16

п

первообразная от ( - функции 51

переменные Лагранжа 13

переменные Эйлера 13

переход к классической механике 69

плотность вещества 31

плотность источников вещества 31

плотность тепловых источников 31

пористость среды 31

порядок уравнения 8

правило Лейбница 55

предмет У.М.Ф 8

преобразование Фурье ( - функции 52

принцип Дионеля 33

принцип максимумов 39

производная ( - функции 51

производная обобщенной функции 54

пространство основных или пробных функций 50

пространство Шварца 61

процесс 8

р

равенство Парсеваля 44

разбиение единицы 58

разложение ( -функции на плоские волны 63

размерность уравнения 8

регулярная теория возмущения 66

с

сингулярная теория возмущения 67

сингулярно обобщенные функции 50

система Гамильтона Якоби 23

состояние среды 8

стационарное уравнение Гамильтона-Якоби 23

т

температура 31

теорема обращения преобразования Фурье 59

теорема Пуассона о классическом решении 44

тета-функция 51

у

удельная теплопроводность 31

уравнение Гельмгольца 65

уравнение диффузии или теплопроводности 31

уравнение неразрывности 72

уравнение Ньютона 70

уравнение Пуассона 8, 65

уравнение Шредингера 69

уравнение Эйлера (уравнение нелинейных волн) 12

условие Диришле 32

условие Неймана 32

ф

фокальные точки 30

формулы Сохоцкого 52

фундаментальное решение Гельмгольца 65

фундаментальное решение оператора Лапласа 64

функция Гамильтона 23

функция Гамильтона-Якоби 24

функция Грина 46

функция Дирака 49

функция Лагранжа 25

Ф

Фурье-образ производной 60

х

характеристика 10

характеристическая система 10

ц

цель У.М.Ф 8

я

ядро Пуассона 44

Уравнения математической физики, семестр 1. Содержание.