Глава 2 «Уравнение диффузии или теплопроводности. Метод разделения переменных (метод Фурье) его решения» §1. Получение уравнения диффузии или теплопроводности Параметры.

xR³.

Теплопроводность: u(x,t) – температура.

D(x,t) – коэффициент теплопроводности.

c(x,t) –удельная теплопроводность.

f(x,t) – плотность тепловых источников.

 (x,t) – плотность вещества.

Диффузия: u(x,t) – концентрация.

D(x,t) – коэффициент диффузии.

c(x,t) – пористость среды.

f(x,t) – плотность источников вещества.

Вывод уравнения диффузии или теплопроводности.

по формуле Грина-Стокса-Острогацкого-Гаусса из векторного анализа. Здесь, аdV=d³x.

.

Q₃=Q₁+Q₂ по закону сохранения энергии.

Считая все функции гладкими и применяя теорему о среднем к полученным тройным интегралам в формуле (2) и стягивая объем к произвольной точке x (устремляя его к0), переходим к дифференциальному уравнению:

Оно неоднородное при f 0, линейное приf 0, с переменными коэффициентами.

Рассмотрим случай, когда c,  , D – константы. Заметим, что. Тогда:

, где, а.

§2. Постановка начально-краевой или смешанной задачи для уравнения диффузии или теплопроводности.

x , 0<t<T.

- начальное условие.

(3) граничные условия:

3_a) -краевое условие I-ого рода. Если =0, то данное краевое условие называютусловием Диришле.

3_б)-краевое условие II-го рода. Если =0, то данное краевое условие называютусловием Неймана(в данном случае область теплоизолирована).

3_в)-краевое условие III-го рода. Этозакон Фурьетеплообмена тела с окружающей средой, температура которой равнаc₀.

Задача {(1), (2), (3)} называется начально-краевой или смешанной задачей.

§3. Смешанная задача с краевым условиемI-ого рода Утверждение 1 (о редукции задачи (1)-(3) к задаче с однородным уравнением и однородными граничными условиями).

От задачи (1)-(3) можно перейти к задаче (1’)-(3’).

Обоснование редукции.

1) u=q=v+w,гдеw – произвольная функция, удовлетворяющая условию:

И т.о. мы переходим к задаче:

2) v будем искать в видеv=v₁+v₂.

Заметим, что (*²) – это задача (1’)-(3’).

3) Необходимо свести задачу (*) к задаче (1’)-(3’). Будем основываться напринципе Дионеля.

Замечание.

Вспомним принцип Дионеля из О.Д.У.

Тогда по принципу Дионеля , гдеw(t, ) удовлетворяет задаче

, гдеW удовлетворяет задаче:

Обоснуем этот принцип.

из формулы (4),из третьего условия задачи (5).

Задача (5) (1’)-(3’), т.к. полагая, а длякак раз получаем задачу (1’)-(3’).

Утверждение доказано.

§4. Метод Фурье для однородной смешанной задачи с однородным граничным условием Идея принципа Фурье.

Под классическим решением задачи (1)-(3) будем понимать функцию

граничные условия..

Эту функцию будем искать в виде

Для того, чтобы функция u удовлетворяла граничным условиям (3), необходимо, чтобы:

Задача (5)-(7) – это задача Штурма-Лиувилля.

Задача (6)-(7) эквивалентна спектральной задаче для самосопряженного оператора в L₂( ), рассматриваемой в курсе функционального анализа. В качестве оператора здесь выступает оператор, который определен в области. Можно показать, что.

- спектральная задача.

Очевидно, что задача (8) эквивалентна задаче (6)-(7).

Утверждение 2.

1) , т.е.формально самосопряжен (симметричен) на своей области определения (на).

2)

Доказательство.

1) Первый пункт доказывается на основеIIформулы Грина:

Т.к. v, u, то

, что и требовалось.

2) Второй пункт доказывается на основеIформулы Грина:

Положим в этой формуле vu из граничных условий

Замечание.

Из утверждения 2 следует, что, если существуют собственные значения оператора , то они вещественны и неотрицательны.

Теорема 1 (собственных значениях и собственных функциях задачи (8)).

1) Все собственные значения задачи (8) дискретны и не имеют конечного предела, т.е. собственные значения: _j, jN, причем.

2) Все собственные значения имеют конечную кратность и их можно перенумеровать в порядке неубывания:

0< ₁  ₂ …  _j  _j+1 …

3) Система собственных вещественных функций задачи (8)образовывает ортогональный базис вL₂( ), т.е. любая функция  L₂( ) раскладывается в ряд Фурье:

, где.

.

Замечание (о формальном решении задачи).

Предварительно из формулы (5) мы найдем

Подставив ее в (4), мы получим счетный набор функций-решений уравнения (1), удовлетворяющий граничным условиям:

Т.к. уравнение линейно, то и любая линейная комбинация - решение исходного уравнения. Т.о. получаем формальное решение:

Используем начальное условие: .

. Т.к. V_j – базис, то

Т.о. формулы (5’), (9) и (10) определяют формальное решение исходной задачи (1)-(3). Не трудно показать, что функция (9) дважды дифференцируема внутри цилиндра:

Заметим, что в силу равенства Парсеваля.

Но на самом деле можно доказать, что