
Конспект лекций по дисциплине Уравнения Математической Физики (УМФ)
.pdfkonspekty lekcij
po matemati~eskim metodam fiziki
pOD REDAKCIEJ w. w. bELOWA I s. `. dOBROHOTOWA
sODERVANIE
I uRAWNENIQ W ^ASTNYH PROIZWODNYH PERWOGO PORQDKA: ANA- |
|
|
LITI^ESKAQ I GEOMETRI^ESKAQ TEORIQ. |LEMENTY TEORII KA- |
|
|
TASTROF |
3 |
|
§1 lINEJNYE I KWAZILINEJNYE |
|
|
u~p PERWOGO PORQDKA |
5 |
|
1.1 |
oDNORODNYE LINEJNYE u~p PERWOGO PORQDKA . . . . . . . . . . . . . . . . |
5 |
1.2 |
kWAZILINEJNYE URAWNENIQ. |
|
|
hARAKTERISTIKI I OB]EE RE[ENIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
8 |
§2 zADA^A kO[I DLQ KWAZILINEJNOGO |
|
|
I LINEJNOGO URAWNENIJ. |
|
|
mETOD HARAKTERISTIK EE RE[ENIQ |
11 |
2.1pOSTANOWKA ZADA^I kO[I
DLQ KWAZILINEJNOGO URAWNENIQ (n = 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2aLGORITM a1 RE[ENIQ ZADA^I kO[I
DLQ KWAZILINEJNOGO URAWNENIQ (n = 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3iNTEGRIROWANIE ZADA^I kO[I DLQ LINEJNOGO URAWNENIQ
OB]EGO WIDA (n = 2). aLGORITM a2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
§3 kORREKTNOSTX ALGORITMOW a1 I a2. |
|
iNTEGRIROWANIE URAWNENIQ NERAZRYWNOSTI |
|
I URAWNENIJ PERENOSA |
18 |
3.1kORREKTNOSTX ALGORITMA a2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2kORREKTNOSTX ALGORITMA a1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3iNTEGRIROWANIE URAWNENIQ NERAZRYWNOSTI
I URAWNENIJ PERENOSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3.1iNTEGRIROWANIE URAWNENIQ NERAZRYWNOSTI . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3.2 iNTEGRIROWANIE URAWNENIJ PERENOSA . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1
§4 nELINEJNYE u~p PERWOGO PORQDKA. |
|
uRAWNENIE gAMILXTONA–qKOBI |
31 |
4.1oSNOWNYE OPREDELENIQ I POSTANOWKA ZADA^I kO[I
DLQ NESTACIONARNOGO URAWNENIQ gAMILXTONA–qKOBI . . . . . . . . . . . . . 31
4.2aLGORITM a3 RE[ENIQ ZADA^I kO[I
DLQ NESTACIONARNOGO URAWNENIQ gAMILXTONA–qKOBI . . . . . . . . . . . . |
32 |
4.3 zADA^A kO[I DLQ STACIONARNOGO URAWNENIQ |
|
gAMILXTONA–qKOBI I ALGORITM a4 EE RE[ENIQ . . . . . . . . . . . . . . . |
35 |
§5 oBOSNOWANIE ALGORITMOW RE[ENIQ ZADA^ kO[I |
|
DLQ URAWNENIQ gAMILXTONA–qKOBI |
39 |
§6 gEOMETRI^ESKAQ INTERPRETACIQ |
|
URAWNENIQ gAMILXTONA–qKOBI. |
|
lAGRANVEWA ZADA^A kO[I |
41 |
pREDISLOWIE
mY PREDLAGAEM WNIMANI@ ^ITATELEJ KONSPEKTY LEKCIJ KURSA, KOTORYJ SLEDOWALO BY NAZWATX wWEDENIE W MATEMATI^ESKIE METODY RE[ENIQ FIZI^ESKIH ZADA^. kONSPEK- TY LEKCIJ . w EGO OSNOWE LEVAT LEKCII, PRO^ITANNYE W RAZNYE GODY w. p. mASLOWYM, w. w. bELOWYM, p. g. gRINEWI^EM, s. `. dOBROHOTOWYM, m. w. kARASEWYM, a. i. nEJ- [TADTOM, a. i. {AFAREWI^EM, i. w. {EJPAKOM, a. a. {KALIKOWYM I DR. NA FIZI^ESKOM FAKULXTETE mgu, W mi|m I iNSTITUTE eSTESTWENNYH NAUK I \KOLOGII (kUR^ATOWSKIJ INSTITUT). oBRABOTKU KONSPEKTOW LEKCIJ WZQLI NA SEBQ STUDENTY mi|m I inesn|k, IH IMENA UKAZANY W SOOTWETSTWU@]IH RAZDELAH.
pRI SOSTAWLENII KURSA LEKCIJ MY RUKOWODSTWOWALISX SLEDU@]IMI SOOBRAVENIQMI. sU]ESTWUET MNOGO PREWOSHODNYH MONOGRAFIJ I U^EBNIKOW PO URAWNENIQM MATEMATI- ^ESKOJ FIZIKI (MY CITIRUEM IH W SOOTWETSTWU@]IH LEKCIQH). oDNAKO ZA^ASTU@ ONI, S ODNOJ STORONY, OKAZYWA@TSQ SLI[KOM SLOVNYMI DLQ STUDENTOW-FIZIKOW, A S DRUGOJ – UVE NE OTRAVA@T SOWREMENNOGO WZGLQDA NA MATEMATI^ESKU@ FIZIKU. kROME TOGO, ^ASTO MNOGIE U^EBNIKI SODERVAT IZLI[N@@ DETALIZACI@, KOTORU@ PRI PERWOM OZNAKOMLENII S METODAMI WPOLNE MOVNO OPUSTITX. |TO OSOBENNO OTNOSITSQ K STUDENTAM, SPECIALIZI- RU@]IMSQ W OBLASTI FIZIKI I PRIKLADNOJ MATEMATIKI. mY IMEEM WWIDU, ^TO ^ASTO WYWOD TEH ILI INYH, DAVE KONSTRUKTIWNYH I AKTIWNO ISPOLXZUEMYH, FORMUL, STROGOE DOKAZATELXSTWO WAVNYH FAKTOW (KAK, NAPRIMER, TEOREM EDINSTWENNOSTI I SU]ESTWOWA- NIQ RE[ENIJ, RAZLI^NYH WARIANTOW PRINCIPA MAKSIMUMA) I T. D. TREBUET DOWOLXNO TONKIH MATEMATI^ESKIH RASSUVDENIJ, OB_EMNYH WY^ISLENIJ I T. P. iMENNO IH, NA NA[ WZGLQD, MOVNO OPUSTITX PRI OBZORE RAZLI^NYH METODOW, PROILL@STRIROWAW IDEI SOOT- WETSTWU@]IH DOKAZATELXSTW I WYKLADOK PROSTEJ[IMI PRIMERAMI I, GLAWNOE, NABORAMI ZADA^, KOTORYE \TI METODY POZWOLQ@T RE[ATX. pOSKOLXKU SAMI METODY RE[ENIQ ZA^AS- TU@ SOSTOQT IZ NESKOLXKIH [AGOW, TO IH RAZUMNO FORMULIROWATX W WIDE ALGORITMOW. nAKONEC, NEKOTORYE METODY MATEMATI^ESKOJ FIZIKI, NAPRIMER METOD RAZDELENIQ PERE- MENNYH, W RAZLI^NYH FIZI^ESKIH ZADA^AH PRIWODQT K RAZNYM, HOTQ I WAVNYM S TO^KI
2
ZRENIQ PRILOVENIJ, FIZI^ESKIM SLEDSTWIQM, NO NE PROQSNQ@]IM IH MATEMATI^ESKOJ SUTI. tAKIE MNOGO^ISLENNYE KONKRETNYE WYWODY TAKVE W OSNOWNOM MOVNO OPUSTITX.
wESX KURS SOSTOIT IZ SLEDU@]IH RAZDELOW:
IuRAWNENIQ W ^ASTNYH PROIZWODNYH PERWOGO PORQDKA: ANALITI^ESKAQ I GEOMETRI^ES- KAQ TEORIQ. |LEMENTY TEORII KATASTROF;
IImETOD RAZDELENIQ PEREMENNYH fURXE;
IIIrASPROSTRANENIE WOLN W PROSTRANSTWE. fUNDAMENTALXNOE RE[ENIE I PROPAGATOR. |LEMENTY TEORII OBOB]ENNYH FUNKCIJ;
IV aPRIORNYE OCENKI. kLASSI^ESKIE I OBOB]ENNYE RE[ENIQ. wOPROSY SU]ESTWOWANIQ I EDINSTWENNOSTI RE[ENIQ. pRINCIP d@AMELQ I PRINCIP MAKSIMUMA;
V wWEDENIE W ASIMPTOTI^ESKIE METODY.
w SOOTWETSTWII S \TIMI RAZDELAMI MY RAZBIWAEM KONSPEKTY NA TEMATI^ESKIE TETRA- DI. iH PODGOTOWKU K PUBLIKACII MY PLANIRUEM ZAWER[ITX W BLIVAJ[EE WREMQ.
tETRADX I
uRAWNENIQ W ^ASTNYH PROIZWODNYH PERWOGO PORQDKA: ANALITI^ESKAQ I
GEOMETRI^ESKAQ TEORIQ. |LEMENTY TEORII KATASTROF
wWEDENIE
tEMOJ PERWOJ TETRADI LEKCIJ KURSA MATEMATI^ESKIH METODOW FIZIKI QWLQ@TSQ ME- TODY RE[ENIQ URAWNENIJ W ^ASTNYH PROIZWODNYH (u~p) PERWOGO PORQDKA. pRIORITET \TOJ TEMY OBUSLOWLEN SLEDU@]IMI OBSTOQTELXSTWAMI.
w KURSAH OB]EJ I TEORETI^ESKOJ FIZIKI FORMIRUETSQ, KAK IZWESTNO, FIZI^ESKOE PREDSTAWLENIE O TOM, ^TO KLASSI^ESKAQ (GEOMETRI^ESKAQ) OPTIKA, KLASSI^ESKAQ MEHA-
NIKA I KLASSI^ESKAQ TERMODINAMIKA QWLQ@TSQ PREDELXNYMI SLU^AQMI SOOTWETSTWENNO WOLNOWOJ OPTIKI, KWANTOWOJ MEHANIKI I STATISTI^ESKOJ MEHANIKI.
mATEMATI^ESKOE OBOSNOWANIE SOOTWETSTWU@]EGO PREDELXNOGO PEREHODA OTN@DX NE TRIWIALXNO I SWQZANO W PERWU@ O^EREDX S POSTROENIEM PRIBLIVENNYH (ASIMPTOTI^ES-
KIH) RE[ENIJ (PSEWDO)DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ W ^ASTNYH PROIZWODNYH, MODELI- RU@]IH WSEWOZMOVNYE WOLNOWYE PROCESSY (STACIONARNYE I NESTACIONARNYE) W NEPRE- RYWNYH SREDAH. mETODY POSTROENIQ \TIH RE[ENIJ BUDUT RASSMOTRENY NIVE W tETRA- DI 4.
3
pRI OPREDELENNYH USLOWIQH NA PARAMETRY WOLNOWOGO PROCESSA I PARAMETRY SREDY (NAPRIMER, KOGDA DLINA WOLNY MALA PO SRAWNENI@ S RAZMERAMI RASSMATRIWAEMYH TEL
SISTEMY ILI PO SRAWNENI@ S PARAMETROM NEODNORODNOSTI SREDY) W PERWOM PRIBLIVENII, KOTOROE NAZYWA@T KOROTKOWOLNOWYM, FAZA ASIMPTOTIKI WOLNOWOGO POLQ UDOWLETWORQ- ET NELINEJNOMU u~p PERWOGO PORQDKA – URAWNENI@ gAMILXTONA–qKOBI DLQ WOLNOWYH FRONTOW. sLEDU@]EE PRIBLIVENIE PRIWODIT K LINEJNOMU URAWNENI@ PERWOGO PORQDKA DLQ OPREDELENIQ AMPLITUDY KOLEBANIJ – URAWNENI@ PERENOSA.
oDNO IZ WAVNYH DOSTIVENIJ MATEMATI^ESKOGO ANALIZA XIX WEKA SOSTOIT W TOM, ^TO RE[ENIE u~p PERWOGO PORQDKA SWODITSQ K INTEGRIROWANI@ SOOTWETSTWU@]EJ HARAK- TERISTI^ESKOJ SISTEMY OBYKNOWENNYH DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ (odu) PERWOGO PORQDKA. s FIZI^ESKOJ TO^KI ZRENIQ \TOT FAKT ESTX PROQWLENIE DWOJSTWENNOSTI W OPI- SANII WOLNOWYH PROCESSOW: PRI POMO]I WOLNOWYH FRONTOW ILI PRI POMO]I LU^EJ, ILI TRAEKTORIJ, ^ASTIC W KONFIGURACIONNOM PROSTRANSTWE KLASSI^ESKOJ SISTEMY, ZADAWAE- MOJ HARAKTERISTI^ESKOJ SISTEMOJ odu.
lU^I I TRAEKTORII ^ASTIC MOGUT PERESEKATXSQ, KASATXSQ DRUG DRUGA, SOBIRATXSQ W ODNU TO^KU, OBRAZUQ MNOVESTWA W KONFIGURACIONNOM PROSTRANSTWE, KOTORYE, SLEDUQ TERMINOLOGII GEOMETRI^ESKOJ OPTIKI, NAZYWA@T KAUSTIKAMI ILI FOKALXNYMI TO^KAMI (TO^KAMI POWOROTA W KWANTOWOJ MEHANIKE).
s TO^KI ZRENIQ ASIMPTOTIKI RE[ENIJ URAWNENIJ WOLNOWOJ FIZIKI NA KAUSTIKE I W EE OKRESTNOSTI PROISHODIT FOKUSIROWKA (ROST AMPLITUDY) WOLNOWOGO POLQ, A FAZA
RE[ENIQ ISPYTYWET SKA^OK (NA ^ETWERTX WOLNY) PRI KAVDOM PROHOVDENII LU^A ^EREZ KAUSTIKU.
tO^NOE OPISANIE \TIH FIZI^ESKIH \FFEKTOW W RAMKAH KOROTKOWOLNOWOGO PRIBLIVE- NIQ DLQ LINEJNYH URAWNENIJ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI, OPISYWA@]IH WOLNOWYE PROCES- SY, SWQZANO S GEOMETRI^ESKIMI OB_EKTAMI W FAZOWOM PROSTRANSTWE SOOTWETSTWU@]EJ HARAKTERISTI^ESKOJ SISTEMY odu – POWERHNOSTQMI (MNOGOOBRAZIQMI), OBRAZOWANNYMI SEMEJSTWAMI FAZOWYH TRAEKTORIJ (HARAKTERISTIK) \TIH SISTEM.
pRI \TOM KAUSTIKI INTERPRETIRU@TSQ KAK OSOBENNOSTI (KATASTROFY) GLADKIH OTO- BRAVENIJ PROEKTIROWANIQ \TIH POWERHNOSTEJ IZ FAZOWOGO PROSTRANSTWA NA KONFIGURA- CIONNOE. iZU^ENIE \TIH OSOBENNOSTEJ QWLQETSQ PREDMETOM ISSLEDOWANIQ SOWREMENNOJ MATEMATI^ESKOJ TEORII KATASTROF [ , ].
wOZNIKNOWENIE \TIH OSOBENNOSTEJ PRIWODIT W SWO@ O^EREDX K KATASTROFAM W RE- [ENII u~p PERWOGO PORQDKA DLQ FAZY I AMPLITUDY ASIMPTOTI^ESKIH RE[ENIJ: WETW- LENI@ RE[ENIQ, POTERE EGO GLADKOSTI: WOZNIKNOWENI@ RAZRYWOW FUNKCIJ I IH PROIZ- WODNYH. pREODOLENIE WSEH \TIH KATASTROF — POLU^ENIE QWNYH I RAWNOMERNYH PO PROSTRANSTWENNYM PEREMENNYM ASIMPTOTI^ESKIH FORMUL DLQ RE[ENIJ WOLNOWYH URAW- NENIJ (I SISTEM) MATEMATI^ESKOJ FIZIKI — OSU]ESTWLQETSQ W RAMKAH TAK NAZYWAEMOJ TEORII KANONI^ESKOGO OPERATORA mASLOWA (I EE MODIFIKACIJ). |TA TEORIQ BUDET RAS- SMOTRENA NIVE, W tETRADQH 3 I 4, NA PRIMERAH RE[ENIQ SODERVATELXNYH FIZI^ESKIH ZADA^.
tAKIE ZADA^I I SWQZANNYE S NIMI KATASTROFY RE[ENIJ SOOTWETSTWU@]IH u~p PER- WOGO PORQDKA WOZNIKA@T PRI ANALIZE RASPROSTRANENIQ RAZRYWOW I UDARNYH WOLN W MEHA- NIKE SPLO[NOJ SREDY, W ^ASTNOSTI W MODELQH GAZOWOJ DINAMIKII MAGNITNOJ GIDRODINA- MIKI, PRI RASPROSTRANENII I FOKUSIROWKE WIDEO- I RADIOIMPULXSOW W DISPERGIRU@]IH SREDAH, KOROTKIH RADIOWOLN W IONOSFERE zEMLI, PRI DIFRAKCII NA PROWODQ]IH TELAH,
4

A TAKVE PRI RASPROSTRANENII LAZERNOGO \LEKTROMAGNITNOGO IZLU^ENIQ W LABORATORNOJ PLAZME.
oB_EDINENIE TEORII KANONI^ESKOGO OPERATORA I TEORII KATASTROF, POZWOLQ@]EE RASS^ITATX ATLASY KAUSTIK I WOLNOWYH POLEJ W IH OKRESTNOSTQH, SOSTAWLQET MATEMA- TI^ESKU@ OSNOWU RAZNOOBRAZNYH PRIBLIVENNYH METODOW ISSLEDOWANIQ OSNOWNYH URAW- NENIJ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI TAKIH, NAPRIMER, KAK KOROTKOWOLNOWOE PRIBLIVENIE DLQ
URAWNENIJ \LEKTRODINAMIKI ILI KWAZIKLASSI^ESKOE PRIBLIVENIE DLQ URAWNENIJ KAK NERELQTIWISTSKOJ, TAK I RELQTIWISTSKOJ KWANTOWOJ MEHANIKI.
cELX \TOJ ^ASTI KURSA: WO-PERWYH, DATX W WIDE ALGORITMOW METODY RE[ENIQ ZADA- ^I kO[I DLQ u~p PERWOGO PORQDKA W MALOM , T. E. PRI OTSUTSTWII KATASTROF W EE RE[ENII; WO-WTORYH, DATX GEOMETRI^ESKU@ INTERPRETACI@ KAK SAMIH URAWNENIJ, TAK I IH RE[ENIJ, QWLQ@]U@SQ NEOBHODIMYM USLOWIEM RE[ENIQ u~p PERWOGO PORQDKAW CELOM , W TOM ^ISLE, W OKRESTNOSTI WOZNIKA@]IH KAUSTIK. i, NAKONEC, NA PRIME- RAH RE[ENIQ KONKRETNYH URAWNENIJ (NESTACIONARNOGO URAWNENIQ gAMILXTONA–qKOBI W KLASSI^ESKOJ MEHANIKE, STACIONARNOGO URAWNENIQ \JKONALA W GEOMETRI^ESKOJ OPTIKE I URAWNENIJ NERAZRYWNOSTI I |JLERA–hOPFA) PRODEMONSTRIROWATX OSNOWNYE PONQTIQ I IDEI MATEMATI^ESKOJ TEORII KATASTROF.
§1 lINEJNYE I KWAZILINEJNYE u~p PERWOGO PORQDKA
|
u~p PERWOGO PORQDKA – \TO URAWNENIQ WIDA |
|
|
|||||||
|
|
|
L x1, . . . , xn, u(x), |
∂u |
∂u |
= 0, |
||||
|
|
|
|
, . . . , |
|
|||||
|
|
|
∂x1 |
∂xn |
||||||
GDE |
u(x) – |
n |
|
, x R |
n |
(ZDESX I DALEE MY BUDEM OTOVDESTWLQTX TO^KU x |
||||
|
NEIZWESTNAQ FUNKCIQ |
|
|
|
|
|
|
|
PROSTRANSTWA Rx S EE KOORDINATAMI I ZAPISYWATX x = (x1, . . . , xn)), x1, . . . , xn – NEZAWI- SIMYE PEREMENNYE, n N, L – PROIZWOLXNAQ GLADKAQ1 FUNKCIQ WSEH SWOIH ARGUMENTOW
(L = L(x1, . . . , xn, u, p1, . . . , pn)).
oDIN IZ OSNOWNYH REZULXTATOW MATEMATI^ESKOGO ANALIZA XIX WEKA SOSTOIT W TOM, ^TO INTEGRIROWANIE u~p PERWOGO PORQDKA SWODITSQ K INTEGRIROWANI@ SISTEMY OBYK- NOWENNYH DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ (odu) PERWOGO PORQDKA.
1.1oDNORODNYE LINEJNYE u~p PERWOGO PORQDKA
pRIMER 1.1. dANA STRUNA (UPRUGAQ STALXNAQ PROWOLOKA) – MODELX ODNOMERNOJ ODNO- RODNOJ SREDY. w MOMENT t0 = 0 ZADADIM PROFILX (OTKLONENIE) STRUNY: u|t=0 = f(x) (RIS. 1.1). w MOMENT t = t0 PROFILX u(x, t) = f(x − at) — PLOSKAQ NEMONOHROMATI^ESKAQ WOLNA, BEGU]AQ WPRAWO SO SKOROSTX@ a (a = const, a > 0).
1pOD GLADKOJ FUNKCIEJ ZDESX I DALEE BUDEM PODRAZUMEWATX FUNKCI@, IME@]U@ STOLXKO PROIZWOD- NYH, SKOLXKO TREBUETSQ W RASSMATRIWAEMOJ ZADA^E.
5

iMEEM
|
|
|
|
|
∂u |
|
∂ |
− at) = fτ=x−at |
(x − at) |
· (−a), |
||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
f(x |
|||||||||
|
|
|
|
∂t |
∂t |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
∂u |
|
= |
∂ |
f(x at) = f |
|
|
(x at) 1. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
sLOVIM \TI DWA |
URAWNENIQ |
UMNOVIW WTOROE IZ NIH NA |
a, |
POLU^IM |
||||||||||||||
|
|
, |
|
∂x |
− |
|
− |
|
− |
|||||||||
|
|
|
|
|
∂x |
|
τ=x |
|
|
· |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
at |
|
|
|
|||
(1.1) |
|
∂u |
|
∂u |
|
– LINEJNOE URAWNENIE BEGU]EJ WPRAWO WOLNY. |
||||||||||||
|
|
+ a |
|
= 0 |
|
|||||||||||||
|
∂t |
∂x |
|
eGO OB]EE RE[ENIE: u(x, t) = f(x − at) , GDE f(τ) – PROIZWOLXNAQ FUNKCIQ, PRINADLEVA]AQ KLASSU C(1) R1 , (x, t) R2 (n = 2).
tAKIM OBRAZOM, OB]EE RE[ENIE \TOGO URAWNENIQ ZAWISIT OT PROIZWOLXNOJ FUNKCII ODNOJ PEREMENNOJ. ~ASTNYH RE[ENIJ SU]ESTWUET STOLXKO, SKOLXKO SU]ESTWUET ODIN RAZ DIFFERENCIRUEMYH FUNKCIJ ODNOJ PEREMENNOJ.
pRIMER 1.2. aWTONOMNAQ SISTEMA odu W OBLASTI D FAZOWOGO PROSTRANSTWA Rn
(1.2) |
x˙ = a(x), |
x |
|
D |
|
Rn, a(x) |
|
C∞(D), |
a(x) = 0, |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ILI W PODROBNOJ ZAPISI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
dxi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= x˙ i = ai(x1, . . . , xn), |
i = 1, 2, . . . , n |
(RIS. 1.2). |
|
|||||||
|
dτ |
|
||||||||||
eSLI POSTAWITX ZADA^U kO[I: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(1.3) |
|
|
|
|
x|τ=0 = ξ D, |
|
|
|
|
|
||
TO, KAK IZWESTNO, NA NEKOTOROM INTERWALE Iδ = (−δ, +δ) (δ > 0) SU]ESTWUET EDINSTWENNOE |
||||||||||||
EE RE[ENIE x = X(ξ, τ), τ Iδ. |
|
|
|
|
|
|
|
n |
: x = X(ξ, τ), τ Iδ |
. |
||
|TO RE[ENIE OPREDELQET W D FAZOWU@ TRAEKTORI@ lξ = x R |
sOPOSTAWIM WEKTORNOMU POL@ a(x) DIFFERENCIALXNYJ OPERATOR PERWOGO PORQDKA
|
|
n |
|
= a(x), |
|
: |
|
Lˆa = |
|
∂ |
∂ |
||
(1.4) |
i=1 ai(x) |
∂xi |
∂x |
n |
|
|
|
|
|
|
∂u |
||
ˆ |
|
|
= a(x), u . |
|
Lau(x) = |
ai(x) |
∂xi |
||
i=1 |
|
|
|
|
6

rASSMOTRIM URAWNENIE
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
∂u |
|
|
n |
|
(1.5) |
Lau = 0 |
ai(x) |
∂xi |
= 0, |
x D R |
|
( n N), a(x) = 0. |
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
uRAWNENIE (1.5) – ^ASTNYJ SLU^AJ ODNORODNOGO LINEJNOGO u~p PERWOGO PORQDKA.
dLQ URAWNENIQ (1.5) SISTEMA (1.2) NAZYWAETSQ HARAKTERISTI^ESKOJ, A EE FAZOWYE TRA-
EKTORII lξ NAZYWA@TSQ HARAKTERISTI^ESKIMI KRIWYMI (ILI HARAKTERISTIKAMI).
tEOREMA 1.1. pUSTX W OBLASTI D a(x) = 0 (WEKTORNOE POLE NE OSOBOE). tOGDA FUNK- CIQ u = u(x) (x D) QWLQETSQ PERWYM INTEGRALOM SISTEMY (1.2) TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA ONA UDOWLETWORQET u~p (1.5).
dOKAZATELXSTWO (NEOBHODIMOSTX). pUSTX u = u(x) – PERWYJ INTEGRAL, T. E. DLQ WSQKOJ FAZOWOJ TRAEKTORII lξ
|
|
|
u|lξ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ Iδ, |
ξ D. |
|
||
(1.6) |
|
|
= u x = X(ξ, τ) = const |
|
|
|||||||||||||
pRODIFFERENCIROWAW (1.6) PO τ, POLU^AEM |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
d |
|
|
|
|
∂u |
|
|
dXi (1.2) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n ∂u |
|
|
|
||||||||
0 = |
dτ |
u X(ξ, τ) = |
∂xi |
|
X(ξ, τ) |
dτ |
= |
|
|
∂xi |
X(ξ, τ) ai |
X(ξ, τ) . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
∂u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
i=1 ai |
∂xi |
X(ξ, τ) = 0 |
|
τ Iδ, ξ D. |
|
||||||||||
eSLI WZQTX τ = 0, X(ξ, 0) = ξ, TO POLU^AEM SOOTNO[ENIE |
|
|
|
|||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.7) |
|
ai(ξ) |
∂u |
(ξ) = 0 |
|
ξ D |
|
(URAWNENIE (1.5) W TO^KE ξ). |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
i=1 |
∂xi |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tAK KAK ξ – PROIZWOLXNO, TO URAWNENIE (1.5) TOVDESTWENNO WYPOLNQETSQ W OBLASTI D.
zAME^ANIE. w DOKAZATELXSTWE ISPOLXZOWALOSX RAWENSTWO
u(x) lξ = u X(ξ, τ) ,
7
(1.8) |
|
|
= 0. |
|
|
dτ (u|lξ) = Lˆau lξ |
|||
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
iNYMI SLOWAMI, u~p (1.5) NA HARAKTERISTIKAH HARAKTERISTI^ESKOJ SISTEMY (1.2) PREWRA]AETSQ W TRIWIALXNOE odu (u(x) – RE[ENIE (1.5), A u|lξ – RE[ENIE (1.8)).
uPRAVNENIE. dOKAVITE DOSTATO^NOSTX USLOWIJ TEOREMY 1.1.
tEOREMA 1.2. sPRAWEDLIWY SLEDU@]IE UTWERVDENIQ (SM., NAPRIMER, [ ]):
1)sISTEMA (1.2), NE SODERVA]AQ W D TO^EK POKOQ (a(x) = 0), WSEGDA IMEET W \TOJ OBLASTI (n − 1) PERWYH INTEGRALOW u1(x), . . . , un−1(x), FUNKCIONALXNO NEZAWISIMYH DRUG OT DRUGA, T. E. TAKIH, ^TO
|
∂ |
|
|
rank |
|
ui(x) (n 1) |
n = n − 1, x D. |
∂xj |
|||
|
|
− |
× |
2) l@BOJ DRUGOJ PERWYJ INTEGRAL u(x) ESTX PROIZWOLXNAQ GLADKAQ FUNKCIQ OT (n−1)
FUNKCIONALXNO NEZAWISIMYH PERWYH INTEGRALOW |
: u(x) = F |
u1(x), u2(x), . . . , un−1(x) , |
||||||||||||||||
GDE F (ξ1, . . . , ξn−1) |
|
C(1) |
Rn−1 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
sLEDSTWIE |
( |
TEOREM |
|
I |
|
|
w OBLASTI |
D, |
W KOTOROJ |
a(x) = 0 |
OB]EE RE[ENIE |
|||||||
|
|
1.1 |
1.2). |
R − |
|
– |
|
|
|
|
(n 1) |
|||||||
INTEGRALY, A F (ξ1, . . . , ξn−1) |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
URAWNENIQ (1.5) IMEET WID u(x) = F u1(x), . . . , un−1(x) , GDE u1(x), . . . , un−1(x) – PERWYE |
||||||||||||||||||
ARGUMENTA. |
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
PROIZWOLXNAQ GLADKAQ FUNKCIQ OT |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2kWAZILINEJNYE URAWNENIQ.
hARAKTERISTIKI I OB]EE RE[ENIE
kWAZILINEJNYE URAWNENIQ – \TO URAWNENIQ WIDA
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
|
|
||
(1.9) |
ai(x, u) |
∂xi |
= b(x, u), |
|
(x, u) D Rn+1 |
(RIS. 1.3). |
|
i=1 |
|
|
|
|
|
zAME^ANIE. |
eSLI W (1.9) b(x, u) = f(x) − b(x)u, f ≡0, I KO\FFICIENTY ai NE ZAWISQT |
|||||
OT u: ai = ai(x), TO (1.9) IMEET WID |
|
|
|
|||
|
|
|
n |
|
|
|
(1.9 ) |
|
|
|
∂u |
|
|
|
|
ai(x) |
|
+ b(x)u = f(x). |
|
|
|
|
|
i=1 |
∂xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|TO URAWNENIE – LINEJNOE NEODNORODNOE URAWNENIE PERWOGO PORQDKA. s U^ETOM FORMU-
LY (1.4) ONO ZAPISYWAETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM:
ˆ
Lau + b(x)u = f(x) (OB]IJ WID LINEJNOGO URAWNENIQ).
8

sOPOSTAWIM URAWNENI@ (1.9) WEKTORNOE POLE, S^ITAQ, ^TO ONO NEOSOBOE W OBLASTI D:
|
|
(x, u) |
|
|
v = a(x, u), b(x, u) = 0, |
D. |
pOSTROIM OB]EE RE[ENIE URAWNENIQ (1.9). eSLI NE OGOWARIWAETSQ PROTIWNOE, TO WSE KO\FFICIENTY W URAWNENII – DOSTATO^NO GLADKIE FUNKCII (T. E. IME@T STOLXKO PROIZ- WODNYH, SKOLXKO NEOBHODIMO).
uTWERVDENIE 1.1. hARAKTERISTI^ESKOJ SISTEMOJ DLQ KWAZILINEJNOGO URAWNENIQ
(1.9) |
QWLQETSQ AWTONOMNAQ SISTEMA odu |
( |
W D |
Rn+1 |
= |
Rn |
× |
R1 |
WIDA |
|
|
x,u |
x |
u) |
|
|
dx |
|
|
|
|
(1.10) |
|
dτ |
|
du |
|
|
dτ |
|
|
|
|
=a(x, u),
=b(x, u).
rE[ENIE ZADA^I kO[I DLQ SISTEMY (1.10) S NA^ALXNYMI DANNYMI x|τ=0 = x0, u|τ=0 = u0 NA INTERWALE Iδ OPREDELQET HARAKTERISTIKU – FAZOWU@ TRAEKTORI@
Lx0,u0 = x = X(x0, τ, u0), u = U(x0, τ, u0), τ Iδ (RIS. 1.3).
uTWERVDENIE 1.2. pROIZWOLXNOE GLADKOE RE[ENIE KWAZILINEJNOGO u~p (1.9) NEQWNO ZADAETSQ FUNKCIONALXNYM URAWNENIEM WIDA
(1.11) |
|
(1) |
|
n |
|
F v1(x, u), . . . , vn(x, u) = 0, |
RALOW AWTONOMNOJ |
|
|
R |
|
(1.10), (x, u) D. |
|
GDE F (ξ1, . . . , ξn) C |
|
|
, |
A v1, . . . , vn – n FUNKCIONALXNO NEZAWISIMYH PERWYH INTEG- |
||
|
SISTEMY |
|
||||
dOKAZATELXSTWA. dOKAVEM UTWERVDENIQ 1.1 I 1.2 PUTEM SWEDENIQ K REZULXTATAM PRE- |
||||||
DYDU]EGO PUNKTA. |
|
|
|
|
|
|
pUSTX u(x) – GLADKOE RE[ENIE URAWNENIQ (1.9). bUDEM S^ITATX, ^TO ONO OPREDELQETSQ
NEQWNYM OBRAZOM IZ URAWNENIQ WIDA |
|
|
Rn (RIS. 1.3). |
|
GDE V – NEIZWESTNAQ FUNKCIQ, Dx – PROEKCIQ OBLASTI D NA |
||||
(1.12) |
V x1, x2, . . . , xn, u(x) |
≡ 0, |
x Dx, |
|
|
|
|
|
x |
9

wYRAZIM |
∂u |
^EREZ |
∂V |
. dLQ \TOGO PRODIFFERENCIRUEM PO xi TOVDESTWO (1.12): |
||||||||||
|
|
|||||||||||||
∂xi |
∂xi |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
∂V |
∂V ∂u |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
= 0, |
||
|
|
|
|
|
∂xi |
∂u |
∂xi |
|||||||
|
|
|
|
|
|
∂u |
|
∂V/∂xi |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
∂xi |
∂V/∂u |
pODSTAWIM POLU^ENNOE WYRAVENIE W (1.9), TOGDA DLQ FUNKCII V POLU^IM SLEDU@]EE SOOTNO[ENIE:
n |
|
∂V |
|
∂V |
|
|
|
(1.9 ) |
ai(x, u) |
+ b(x, u) |
= 0, |
V = V (x, u). |
|||
∂xi |
∂u |
||||||
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
LINEJNOE ODNORODNOE URAWNENIE S ^ISLOM NEZAWISIMYH PEREMENNYH (n + 1) (NA EDINICU BOLX[E, ^EM U URAWNENIQ (1.5)).
dLQ TAKOGO URAWNENIQ PO OPREDELENI@ HARAKTERISTI^ESKAQ SISTEMA IMEET WID (1.10). uTWERVDENIE 1.1 DOKAZANO.
bOLEE TOGO, W SILU SLEDSTWIQ PREDYDU]EGO PUNKTA OB]EE RE[ENIE URAWNENIQ (?? ) ESTX PROIZWOLXNAQ GLADKAQ FUNKCIQ OT n NEZAWISIMYH PERWYH INTEGRALOW SISTEMY (1.10):
V (x, u) = F v1(x, u), . . . , vn(x, u) |
(1.12) |
= 0. |
mY POLU^ILI SOOTNO[ENIE, OPREDELQ@]EE u KAK FUNKCI@ OT x. uTWERVDENIE 1.2 DOKAZANO.
pRIMER. rASSMOTRIM URAWNENIE |JLERA–hOPFA (URAWNENIE NELINEJNOJ BEGU]EJ WOL-
NY)
∂u |
+ u |
∂u |
= 0 (x = (x1, x2) = (x, t)), |
|
|
||
∂t |
∂x |
GDE SKOROSTX RASPROSTRANENIQ WOLNY a = a(u) = u ZAWISIT OT RE[ENIQ. oNO OPISYWAET POLE SKOROSTEJ u(x, t) W SREDE, SOSTOQ]EJ IZ KONTINUUMA ^ASTIC ξ, DWIVU]IHSQ RAWNOMERNO I PRQMOLINEJNO.
dEJSTWITELXNO, DLQ KAVDOJ ^ASTICY, NA^ALXNAQ KOORDINATA KOTOROJ – ξ R, IME-
EM x¨ = 0. pO\TOMU x = X(ξ, t) = ξ + v0(ξ)t, GDE v0(ξ) – NA^ALXNAQ SKOROSTX ^ASTICY. kOORDINATA ξ R NAZYWAETSQ LAGRANVEWOJ KOORDINATOJ SREDY (ODNOMERNOJ), t – WRE-
MQ.
pO OPREDELENI@ POLQ SKOROSTEJ IMEEM
|
|
|
|
∂u |
|
|
|
∂u |
|
|
|
|
||
dX |
|
|
|
d2X |
|
∂u |
|
|
|
∂u |
|
|
˙ |
|
dt |
= u X(ξ, t), t = 0 = |
dt2 |
= |
∂t |
X(ξ, t), t + |
∂x |
X(ξ, t), t X = |
|||||||
|
|
|
= |
|
X(ξ, t), t + |
|
X(ξ, t), t u X(ξ, t), t . |
|||||||
|
|
|
∂t |
∂x |
10