Конспект лекций по дисциплине Уравнения Математической Физики (УМФ)

konspekty lekcij

po matemati~eskim metodam fiziki

pOD REDAKCIEJ w. w. bELOWA I s. `. dOBROHOTOWA

sODERVANIE

2.1pOSTANOWKA ZADA^I kO[I

DLQ KWAZILINEJNOGO URAWNENIQ (n = 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2aLGORITM a1 RE[ENIQ ZADA^I kO[I

DLQ KWAZILINEJNOGO URAWNENIQ (n = 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3iNTEGRIROWANIE ZADA^I kO[I DLQ LINEJNOGO URAWNENIQ

OB]EGO WIDA (n = 2). aLGORITM a2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.1kORREKTNOSTX ALGORITMA a2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2kORREKTNOSTX ALGORITMA a1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3iNTEGRIROWANIE URAWNENIQ NERAZRYWNOSTI

I URAWNENIJ PERENOSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3.1iNTEGRIROWANIE URAWNENIQ NERAZRYWNOSTI . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3.2 iNTEGRIROWANIE URAWNENIJ PERENOSA . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1

4.1oSNOWNYE OPREDELENIQ I POSTANOWKA ZADA^I kO[I

DLQ NESTACIONARNOGO URAWNENIQ gAMILXTONA–qKOBI . . . . . . . . . . . . . 31

4.2aLGORITM a3 RE[ENIQ ZADA^I kO[I

pREDISLOWIE

mY PREDLAGAEM WNIMANI@ ^ITATELEJ KONSPEKTY LEKCIJ KURSA, KOTORYJ SLEDOWALO BY NAZWATX wWEDENIE W MATEMATI^ESKIE METODY RE[ENIQ FIZI^ESKIH ZADA^. kONSPEK- TY LEKCIJ . w EGO OSNOWE LEVAT LEKCII, PRO^ITANNYE W RAZNYE GODY w. p. mASLOWYM, w. w. bELOWYM, p. g. gRINEWI^EM, s. `. dOBROHOTOWYM, m. w. kARASEWYM, a. i. nEJ- [TADTOM, a. i. {AFAREWI^EM, i. w. {EJPAKOM, a. a. {KALIKOWYM I DR. NA FIZI^ESKOM FAKULXTETE mgu, W mi|m I iNSTITUTE eSTESTWENNYH NAUK I \KOLOGII (kUR^ATOWSKIJ INSTITUT). oBRABOTKU KONSPEKTOW LEKCIJ WZQLI NA SEBQ STUDENTY mi|m I inesn|k, IH IMENA UKAZANY W SOOTWETSTWU@]IH RAZDELAH.

pRI SOSTAWLENII KURSA LEKCIJ MY RUKOWODSTWOWALISX SLEDU@]IMI SOOBRAVENIQMI. sU]ESTWUET MNOGO PREWOSHODNYH MONOGRAFIJ I U^EBNIKOW PO URAWNENIQM MATEMATI- ^ESKOJ FIZIKI (MY CITIRUEM IH W SOOTWETSTWU@]IH LEKCIQH). oDNAKO ZA^ASTU@ ONI, S ODNOJ STORONY, OKAZYWA@TSQ SLI[KOM SLOVNYMI DLQ STUDENTOW-FIZIKOW, A S DRUGOJ – UVE NE OTRAVA@T SOWREMENNOGO WZGLQDA NA MATEMATI^ESKU@ FIZIKU. kROME TOGO, ^ASTO MNOGIE U^EBNIKI SODERVAT IZLI[N@@ DETALIZACI@, KOTORU@ PRI PERWOM OZNAKOMLENII S METODAMI WPOLNE MOVNO OPUSTITX. |TO OSOBENNO OTNOSITSQ K STUDENTAM, SPECIALIZI- RU@]IMSQ W OBLASTI FIZIKI I PRIKLADNOJ MATEMATIKI. mY IMEEM WWIDU, ^TO ^ASTO WYWOD TEH ILI INYH, DAVE KONSTRUKTIWNYH I AKTIWNO ISPOLXZUEMYH, FORMUL, STROGOE DOKAZATELXSTWO WAVNYH FAKTOW (KAK, NAPRIMER, TEOREM EDINSTWENNOSTI I SU]ESTWOWA- NIQ RE[ENIJ, RAZLI^NYH WARIANTOW PRINCIPA MAKSIMUMA) I T. D. TREBUET DOWOLXNO TONKIH MATEMATI^ESKIH RASSUVDENIJ, OB_EMNYH WY^ISLENIJ I T. P. iMENNO IH, NA NA[ WZGLQD, MOVNO OPUSTITX PRI OBZORE RAZLI^NYH METODOW, PROILL@STRIROWAW IDEI SOOT- WETSTWU@]IH DOKAZATELXSTW I WYKLADOK PROSTEJ[IMI PRIMERAMI I, GLAWNOE, NABORAMI ZADA^, KOTORYE \TI METODY POZWOLQ@T RE[ATX. pOSKOLXKU SAMI METODY RE[ENIQ ZA^AS- TU@ SOSTOQT IZ NESKOLXKIH [AGOW, TO IH RAZUMNO FORMULIROWATX W WIDE ALGORITMOW. nAKONEC, NEKOTORYE METODY MATEMATI^ESKOJ FIZIKI, NAPRIMER METOD RAZDELENIQ PERE- MENNYH, W RAZLI^NYH FIZI^ESKIH ZADA^AH PRIWODQT K RAZNYM, HOTQ I WAVNYM S TO^KI

2

ZRENIQ PRILOVENIJ, FIZI^ESKIM SLEDSTWIQM, NO NE PROQSNQ@]IM IH MATEMATI^ESKOJ SUTI. tAKIE MNOGO^ISLENNYE KONKRETNYE WYWODY TAKVE W OSNOWNOM MOVNO OPUSTITX.

wESX KURS SOSTOIT IZ SLEDU@]IH RAZDELOW:

IuRAWNENIQ W ^ASTNYH PROIZWODNYH PERWOGO PORQDKA: ANALITI^ESKAQ I GEOMETRI^ES- KAQ TEORIQ. |LEMENTY TEORII KATASTROF;

IImETOD RAZDELENIQ PEREMENNYH fURXE;

IIIrASPROSTRANENIE WOLN W PROSTRANSTWE. fUNDAMENTALXNOE RE[ENIE I PROPAGATOR. |LEMENTY TEORII OBOB]ENNYH FUNKCIJ;

IV aPRIORNYE OCENKI. kLASSI^ESKIE I OBOB]ENNYE RE[ENIQ. wOPROSY SU]ESTWOWANIQ I EDINSTWENNOSTI RE[ENIQ. pRINCIP d@AMELQ I PRINCIP MAKSIMUMA;

V wWEDENIE W ASIMPTOTI^ESKIE METODY.

w SOOTWETSTWII S \TIMI RAZDELAMI MY RAZBIWAEM KONSPEKTY NA TEMATI^ESKIE TETRA- DI. iH PODGOTOWKU K PUBLIKACII MY PLANIRUEM ZAWER[ITX W BLIVAJ[EE WREMQ.

tETRADX I

uRAWNENIQ W ^ASTNYH PROIZWODNYH PERWOGO PORQDKA: ANALITI^ESKAQ I

GEOMETRI^ESKAQ TEORIQ. |LEMENTY TEORII KATASTROF

wWEDENIE

tEMOJ PERWOJ TETRADI LEKCIJ KURSA MATEMATI^ESKIH METODOW FIZIKI QWLQ@TSQ ME- TODY RE[ENIQ URAWNENIJ W ^ASTNYH PROIZWODNYH (u~p) PERWOGO PORQDKA. pRIORITET \TOJ TEMY OBUSLOWLEN SLEDU@]IMI OBSTOQTELXSTWAMI.

w KURSAH OB]EJ I TEORETI^ESKOJ FIZIKI FORMIRUETSQ, KAK IZWESTNO, FIZI^ESKOE PREDSTAWLENIE O TOM, ^TO KLASSI^ESKAQ (GEOMETRI^ESKAQ) OPTIKA, KLASSI^ESKAQ MEHA-

NIKA I KLASSI^ESKAQ TERMODINAMIKA QWLQ@TSQ PREDELXNYMI SLU^AQMI SOOTWETSTWENNO WOLNOWOJ OPTIKI, KWANTOWOJ MEHANIKI I STATISTI^ESKOJ MEHANIKI.

mATEMATI^ESKOE OBOSNOWANIE SOOTWETSTWU@]EGO PREDELXNOGO PEREHODA OTN@DX NE TRIWIALXNO I SWQZANO W PERWU@ O^EREDX S POSTROENIEM PRIBLIVENNYH (ASIMPTOTI^ES-

KIH) RE[ENIJ (PSEWDO)DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ W ^ASTNYH PROIZWODNYH, MODELI- RU@]IH WSEWOZMOVNYE WOLNOWYE PROCESSY (STACIONARNYE I NESTACIONARNYE) W NEPRE- RYWNYH SREDAH. mETODY POSTROENIQ \TIH RE[ENIJ BUDUT RASSMOTRENY NIVE W tETRA- DI 4.

3

pRI OPREDELENNYH USLOWIQH NA PARAMETRY WOLNOWOGO PROCESSA I PARAMETRY SREDY (NAPRIMER, KOGDA DLINA WOLNY MALA PO SRAWNENI@ S RAZMERAMI RASSMATRIWAEMYH TEL

SISTEMY ILI PO SRAWNENI@ S PARAMETROM NEODNORODNOSTI SREDY) W PERWOM PRIBLIVENII, KOTOROE NAZYWA@T KOROTKOWOLNOWYM, FAZA ASIMPTOTIKI WOLNOWOGO POLQ UDOWLETWORQ- ET NELINEJNOMU u~p PERWOGO PORQDKA – URAWNENI@ gAMILXTONA–qKOBI DLQ WOLNOWYH FRONTOW. sLEDU@]EE PRIBLIVENIE PRIWODIT K LINEJNOMU URAWNENI@ PERWOGO PORQDKA DLQ OPREDELENIQ AMPLITUDY KOLEBANIJ – URAWNENI@ PERENOSA.

oDNO IZ WAVNYH DOSTIVENIJ MATEMATI^ESKOGO ANALIZA XIX WEKA SOSTOIT W TOM, ^TO RE[ENIE u~p PERWOGO PORQDKA SWODITSQ K INTEGRIROWANI@ SOOTWETSTWU@]EJ HARAK- TERISTI^ESKOJ SISTEMY OBYKNOWENNYH DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ (odu) PERWOGO PORQDKA. s FIZI^ESKOJ TO^KI ZRENIQ \TOT FAKT ESTX PROQWLENIE DWOJSTWENNOSTI W OPI- SANII WOLNOWYH PROCESSOW: PRI POMO]I WOLNOWYH FRONTOW ILI PRI POMO]I LU^EJ, ILI TRAEKTORIJ, ^ASTIC W KONFIGURACIONNOM PROSTRANSTWE KLASSI^ESKOJ SISTEMY, ZADAWAE- MOJ HARAKTERISTI^ESKOJ SISTEMOJ odu.

lU^I I TRAEKTORII ^ASTIC MOGUT PERESEKATXSQ, KASATXSQ DRUG DRUGA, SOBIRATXSQ W ODNU TO^KU, OBRAZUQ MNOVESTWA W KONFIGURACIONNOM PROSTRANSTWE, KOTORYE, SLEDUQ TERMINOLOGII GEOMETRI^ESKOJ OPTIKI, NAZYWA@T KAUSTIKAMI ILI FOKALXNYMI TO^KAMI (TO^KAMI POWOROTA W KWANTOWOJ MEHANIKE).

s TO^KI ZRENIQ ASIMPTOTIKI RE[ENIJ URAWNENIJ WOLNOWOJ FIZIKI NA KAUSTIKE I W EE OKRESTNOSTI PROISHODIT FOKUSIROWKA (ROST AMPLITUDY) WOLNOWOGO POLQ, A FAZA

RE[ENIQ ISPYTYWET SKA^OK (NA ^ETWERTX WOLNY) PRI KAVDOM PROHOVDENII LU^A ^EREZ KAUSTIKU.

tO^NOE OPISANIE \TIH FIZI^ESKIH \FFEKTOW W RAMKAH KOROTKOWOLNOWOGO PRIBLIVE- NIQ DLQ LINEJNYH URAWNENIJ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI, OPISYWA@]IH WOLNOWYE PROCES- SY, SWQZANO S GEOMETRI^ESKIMI OB_EKTAMI W FAZOWOM PROSTRANSTWE SOOTWETSTWU@]EJ HARAKTERISTI^ESKOJ SISTEMY odu – POWERHNOSTQMI (MNOGOOBRAZIQMI), OBRAZOWANNYMI SEMEJSTWAMI FAZOWYH TRAEKTORIJ (HARAKTERISTIK) \TIH SISTEM.

pRI \TOM KAUSTIKI INTERPRETIRU@TSQ KAK OSOBENNOSTI (KATASTROFY) GLADKIH OTO- BRAVENIJ PROEKTIROWANIQ \TIH POWERHNOSTEJ IZ FAZOWOGO PROSTRANSTWA NA KONFIGURA- CIONNOE. iZU^ENIE \TIH OSOBENNOSTEJ QWLQETSQ PREDMETOM ISSLEDOWANIQ SOWREMENNOJ MATEMATI^ESKOJ TEORII KATASTROF [ , ].

wOZNIKNOWENIE \TIH OSOBENNOSTEJ PRIWODIT W SWO@ O^EREDX K KATASTROFAM W RE- [ENII u~p PERWOGO PORQDKA DLQ FAZY I AMPLITUDY ASIMPTOTI^ESKIH RE[ENIJ: WETW- LENI@ RE[ENIQ, POTERE EGO GLADKOSTI: WOZNIKNOWENI@ RAZRYWOW FUNKCIJ I IH PROIZ- WODNYH. pREODOLENIE WSEH \TIH KATASTROF — POLU^ENIE QWNYH I RAWNOMERNYH PO PROSTRANSTWENNYM PEREMENNYM ASIMPTOTI^ESKIH FORMUL DLQ RE[ENIJ WOLNOWYH URAW- NENIJ (I SISTEM) MATEMATI^ESKOJ FIZIKI — OSU]ESTWLQETSQ W RAMKAH TAK NAZYWAEMOJ TEORII KANONI^ESKOGO OPERATORA mASLOWA (I EE MODIFIKACIJ). |TA TEORIQ BUDET RAS- SMOTRENA NIVE, W tETRADQH 3 I 4, NA PRIMERAH RE[ENIQ SODERVATELXNYH FIZI^ESKIH ZADA^.

tAKIE ZADA^I I SWQZANNYE S NIMI KATASTROFY RE[ENIJ SOOTWETSTWU@]IH u~p PER- WOGO PORQDKA WOZNIKA@T PRI ANALIZE RASPROSTRANENIQ RAZRYWOW I UDARNYH WOLN W MEHA- NIKE SPLO[NOJ SREDY, W ^ASTNOSTI W MODELQH GAZOWOJ DINAMIKII MAGNITNOJ GIDRODINA- MIKI, PRI RASPROSTRANENII I FOKUSIROWKE WIDEO- I RADIOIMPULXSOW W DISPERGIRU@]IH SREDAH, KOROTKIH RADIOWOLN W IONOSFERE zEMLI, PRI DIFRAKCII NA PROWODQ]IH TELAH,

4

A TAKVE PRI RASPROSTRANENII LAZERNOGO \LEKTROMAGNITNOGO IZLU^ENIQ W LABORATORNOJ PLAZME.

oB_EDINENIE TEORII KANONI^ESKOGO OPERATORA I TEORII KATASTROF, POZWOLQ@]EE RASS^ITATX ATLASY KAUSTIK I WOLNOWYH POLEJ W IH OKRESTNOSTQH, SOSTAWLQET MATEMA- TI^ESKU@ OSNOWU RAZNOOBRAZNYH PRIBLIVENNYH METODOW ISSLEDOWANIQ OSNOWNYH URAW- NENIJ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI TAKIH, NAPRIMER, KAK KOROTKOWOLNOWOE PRIBLIVENIE DLQ

URAWNENIJ \LEKTRODINAMIKI ILI KWAZIKLASSI^ESKOE PRIBLIVENIE DLQ URAWNENIJ KAK NERELQTIWISTSKOJ, TAK I RELQTIWISTSKOJ KWANTOWOJ MEHANIKI.

cELX \TOJ ^ASTI KURSA: WO-PERWYH, DATX W WIDE ALGORITMOW METODY RE[ENIQ ZADA- ^I kO[I DLQ u~p PERWOGO PORQDKA W MALOM , T. E. PRI OTSUTSTWII KATASTROF W EE RE[ENII; WO-WTORYH, DATX GEOMETRI^ESKU@ INTERPRETACI@ KAK SAMIH URAWNENIJ, TAK I IH RE[ENIJ, QWLQ@]U@SQ NEOBHODIMYM USLOWIEM RE[ENIQ u~p PERWOGO PORQDKAW CELOM , W TOM ^ISLE, W OKRESTNOSTI WOZNIKA@]IH KAUSTIK. i, NAKONEC, NA PRIME- RAH RE[ENIQ KONKRETNYH URAWNENIJ (NESTACIONARNOGO URAWNENIQ gAMILXTONA–qKOBI W KLASSI^ESKOJ MEHANIKE, STACIONARNOGO URAWNENIQ \JKONALA W GEOMETRI^ESKOJ OPTIKE I URAWNENIJ NERAZRYWNOSTI I |JLERA–hOPFA) PRODEMONSTRIROWATX OSNOWNYE PONQTIQ I IDEI MATEMATI^ESKOJ TEORII KATASTROF.

§1 lINEJNYE I KWAZILINEJNYE u~p PERWOGO PORQDKA

PROSTRANSTWA Rx S EE KOORDINATAMI I ZAPISYWATX x = (x1, . . . , xn)), x1, . . . , xn – NEZAWI- SIMYE PEREMENNYE, n N, L – PROIZWOLXNAQ GLADKAQ1 FUNKCIQ WSEH SWOIH ARGUMENTOW

(L = L(x1, . . . , xn, u, p1, . . . , pn)).

oDIN IZ OSNOWNYH REZULXTATOW MATEMATI^ESKOGO ANALIZA XIX WEKA SOSTOIT W TOM, ^TO INTEGRIROWANIE u~p PERWOGO PORQDKA SWODITSQ K INTEGRIROWANI@ SISTEMY OBYK- NOWENNYH DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ (odu) PERWOGO PORQDKA.

1.1oDNORODNYE LINEJNYE u~p PERWOGO PORQDKA

pRIMER 1.1. dANA STRUNA (UPRUGAQ STALXNAQ PROWOLOKA) – MODELX ODNOMERNOJ ODNO- RODNOJ SREDY. w MOMENT t0 = 0 ZADADIM PROFILX (OTKLONENIE) STRUNY: u|t=0 = f(x) (RIS. 1.1). w MOMENT t = t0 PROFILX u(x, t) = f(x − at) — PLOSKAQ NEMONOHROMATI^ESKAQ WOLNA, BEGU]AQ WPRAWO SO SKOROSTX@ a (a = const, a > 0).

1pOD GLADKOJ FUNKCIEJ ZDESX I DALEE BUDEM PODRAZUMEWATX FUNKCI@, IME@]U@ STOLXKO PROIZWOD- NYH, SKOLXKO TREBUETSQ W RASSMATRIWAEMOJ ZADA^E.

5

iMEEM

eGO OB]EE RE[ENIE: u(x, t) = f(x − at) , GDE f(τ) – PROIZWOLXNAQ FUNKCIQ, PRINADLEVA]AQ KLASSU C(1) R1 , (x, t) R2 (n = 2).

tAKIM OBRAZOM, OB]EE RE[ENIE \TOGO URAWNENIQ ZAWISIT OT PROIZWOLXNOJ FUNKCII ODNOJ PEREMENNOJ. ~ASTNYH RE[ENIJ SU]ESTWUET STOLXKO, SKOLXKO SU]ESTWUET ODIN RAZ DIFFERENCIRUEMYH FUNKCIJ ODNOJ PEREMENNOJ.

pRIMER 1.2. aWTONOMNAQ SISTEMA odu W OBLASTI D FAZOWOGO PROSTRANSTWA Rn

sOPOSTAWIM WEKTORNOMU POL@ a(x) DIFFERENCIALXNYJ OPERATOR PERWOGO PORQDKA

6

rASSMOTRIM URAWNENIE

uRAWNENIE (1.5) – ^ASTNYJ SLU^AJ ODNORODNOGO LINEJNOGO u~p PERWOGO PORQDKA.

dLQ URAWNENIQ (1.5) SISTEMA (1.2) NAZYWAETSQ HARAKTERISTI^ESKOJ, A EE FAZOWYE TRA-

EKTORII lξ NAZYWA@TSQ HARAKTERISTI^ESKIMI KRIWYMI (ILI HARAKTERISTIKAMI).

tEOREMA 1.1. pUSTX W OBLASTI D a(x) = 0 (WEKTORNOE POLE NE OSOBOE). tOGDA FUNK- CIQ u = u(x) (x D) QWLQETSQ PERWYM INTEGRALOM SISTEMY (1.2) TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA ONA UDOWLETWORQET u~p (1.5).

dOKAZATELXSTWO (NEOBHODIMOSTX). pUSTX u = u(x) – PERWYJ INTEGRAL, T. E. DLQ WSQKOJ FAZOWOJ TRAEKTORII lξ

tAK KAK ξ – PROIZWOLXNO, TO URAWNENIE (1.5) TOVDESTWENNO WYPOLNQETSQ W OBLASTI D.

zAME^ANIE. w DOKAZATELXSTWE ISPOLXZOWALOSX RAWENSTWO

u(x) lξ = u X(ξ, τ) ,

7

iNYMI SLOWAMI, u~p (1.5) NA HARAKTERISTIKAH HARAKTERISTI^ESKOJ SISTEMY (1.2) PREWRA]AETSQ W TRIWIALXNOE odu (u(x) – RE[ENIE (1.5), A u|lξ – RE[ENIE (1.8)).

uPRAVNENIE. dOKAVITE DOSTATO^NOSTX USLOWIJ TEOREMY 1.1.

tEOREMA 1.2. sPRAWEDLIWY SLEDU@]IE UTWERVDENIQ (SM., NAPRIMER, [ ]):

1)sISTEMA (1.2), NE SODERVA]AQ W D TO^EK POKOQ (a(x) = 0), WSEGDA IMEET W \TOJ OBLASTI (n − 1) PERWYH INTEGRALOW u1(x), . . . , un−1(x), FUNKCIONALXNO NEZAWISIMYH DRUG OT DRUGA, T. E. TAKIH, ^TO

2) l@BOJ DRUGOJ PERWYJ INTEGRAL u(x) ESTX PROIZWOLXNAQ GLADKAQ FUNKCIQ OT (n−1)

1.2kWAZILINEJNYE URAWNENIQ.

hARAKTERISTIKI I OB]EE RE[ENIE

kWAZILINEJNYE URAWNENIQ – \TO URAWNENIQ WIDA

|TO URAWNENIE – LINEJNOE NEODNORODNOE URAWNENIE PERWOGO PORQDKA. s U^ETOM FORMU-

LY (1.4) ONO ZAPISYWAETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM:

ˆ

Lau + b(x)u = f(x) (OB]IJ WID LINEJNOGO URAWNENIQ).

8

sOPOSTAWIM URAWNENI@ (1.9) WEKTORNOE POLE, S^ITAQ, ^TO ONO NEOSOBOE W OBLASTI D:

pOSTROIM OB]EE RE[ENIE URAWNENIQ (1.9). eSLI NE OGOWARIWAETSQ PROTIWNOE, TO WSE KO\FFICIENTY W URAWNENII – DOSTATO^NO GLADKIE FUNKCII (T. E. IME@T STOLXKO PROIZ- WODNYH, SKOLXKO NEOBHODIMO).

uTWERVDENIE 1.1. hARAKTERISTI^ESKOJ SISTEMOJ DLQ KWAZILINEJNOGO URAWNENIQ

rE[ENIE ZADA^I kO[I DLQ SISTEMY (1.10) S NA^ALXNYMI DANNYMI x|τ=0 = x0, u|τ=0 = u0 NA INTERWALE Iδ OPREDELQET HARAKTERISTIKU – FAZOWU@ TRAEKTORI@

Lx0,u0 = x = X(x0, τ, u0), u = U(x0, τ, u0), τ Iδ (RIS. 1.3).

uTWERVDENIE 1.2. pROIZWOLXNOE GLADKOE RE[ENIE KWAZILINEJNOGO u~p (1.9) NEQWNO ZADAETSQ FUNKCIONALXNYM URAWNENIEM WIDA

pUSTX u(x) – GLADKOE RE[ENIE URAWNENIQ (1.9). bUDEM S^ITATX, ^TO ONO OPREDELQETSQ

9

pODSTAWIM POLU^ENNOE WYRAVENIE W (1.9), TOGDA DLQ FUNKCII V POLU^IM SLEDU@]EE SOOTNO[ENIE:

LINEJNOE ODNORODNOE URAWNENIE S ^ISLOM NEZAWISIMYH PEREMENNYH (n + 1) (NA EDINICU BOLX[E, ^EM U URAWNENIQ (1.5)).

dLQ TAKOGO URAWNENIQ PO OPREDELENI@ HARAKTERISTI^ESKAQ SISTEMA IMEET WID (1.10). uTWERVDENIE 1.1 DOKAZANO.

bOLEE TOGO, W SILU SLEDSTWIQ PREDYDU]EGO PUNKTA OB]EE RE[ENIE URAWNENIQ (?? ) ESTX PROIZWOLXNAQ GLADKAQ FUNKCIQ OT n NEZAWISIMYH PERWYH INTEGRALOW SISTEMY (1.10):

mY POLU^ILI SOOTNO[ENIE, OPREDELQ@]EE u KAK FUNKCI@ OT x. uTWERVDENIE 1.2 DOKAZANO.

pRIMER. rASSMOTRIM URAWNENIE |JLERA–hOPFA (URAWNENIE NELINEJNOJ BEGU]EJ WOL-

NY)

GDE SKOROSTX RASPROSTRANENIQ WOLNY a = a(u) = u ZAWISIT OT RE[ENIQ. oNO OPISYWAET POLE SKOROSTEJ u(x, t) W SREDE, SOSTOQ]EJ IZ KONTINUUMA ^ASTIC ξ, DWIVU]IHSQ RAWNOMERNO I PRQMOLINEJNO.

dEJSTWITELXNO, DLQ KAVDOJ ^ASTICY, NA^ALXNAQ KOORDINATA KOTOROJ – ξ R, IME-

EM x¨ = 0. pO\TOMU x = X(ξ, t) = ξ + v0(ξ)t, GDE v0(ξ) – NA^ALXNAQ SKOROSTX ^ASTICY. kOORDINATA ξ R NAZYWAETSQ LAGRANVEWOJ KOORDINATOJ SREDY (ODNOMERNOJ), t – WRE-

MQ.

pO OPREDELENI@ POLQ SKOROSTEJ IMEEM

10