Конспект лекций по дисциплине Уравнения Математической Физики (УМФ)
.pdf1)Λn SODERVIT Λn0−1: Λn Λn0−1;
2)Λn LEVIT NA NULEWOJ POWERHNOSTI UROWNQ FUNKCII gAMILXTONA H(x, p): H|Λn = 0;
3)DLQ L@BOGO GLADKOGO ZAMKNUTOGO PUTI l NA Λn
(6.17) |
2n p, dx = 0. |
|
l Λ |
eSLI MNOGOOBRAZIE Λn ODNOSWQZNO, TO POSLEDNEE USLOWIE SLEDUET IZ SWOJSTWA LAGRANVE- WOSTI Λn.
lAGRANVEWO MNOGOOBRAZIE Λn, UDOWLETWORQ@]EE USLOWI@ (6.17), NAZOWEM ”S”-KWANTOWANNYM. nA ”S”-KWANTOWANNOM LAGRANVEWOM MNOGOOBRAZII KORREKTNYM OB- RAZOM (T. E. ODNOZNA^NO S TO^NOSTX@ DO ADDITIWNOJ POSTOQNNOJ) OPREDELENA FUNKCIQ
˜ |
n |
, – |
DEJSTWIE NA |
Λ |
n |
: |
|
S(σ), σ Λ |
|
|
|
|
|||
(6.18) |
|
|
|
S˜(σ) = . |
p, dx + S˜(σ0), |
||
l(σ0→σ)
GDE l(σ0 → σ) — PROIZWOLXNYJ GLADKIJ PUTX, SOEDINQ@]IJ OTME^ENNU@ TO^KU σ0 S TO^- KOJ σ.
oDIN IZ SPOSOBOW POSTROENIQ Λn PO NA^ALXNOMU LAGRANVEWOMU MNOGOOBRAZI@ Λn0−1 –
SDWINUTX TO^KI Λ0n−1 |
WDOLX TRAEKTORIJ SISTEMY gAMILXTONA, OTWE^A@]EJ GAMILXTONI- |
|||||||||
GDE gHτ – FAZOWYJ POTOK GAMILXTONOWA WEKTORNOGO POLQ vH. |
τ (−τ60,τ0) R H |
|
||||||||
ANU H. eSLI WEKTORNOE POLE vH TRANSWERSALXNO Λ0n−1, TO TOGDA Λn = |
= 0) |
gτ |
Λ0n−1 |
, |
||||||
”S”-KWANTOWANNOE LAGRANVEWO MNOGOOBRAZIE Λ |
n |
(Λ |
n |
Λ0 |
− , H|Λn |
— |
|
|
||
rE[ENIE OBOB]ENNOJ LAGRANVEWOJ ZADA^I |
|
n |
1 |
H x, |
S(x) |
= 0 — |
||||
|
kO[I DLQ URAWNENIQ |
|
|
|
|
|||||
POROVDAET OBY^NOE KLASSI^ESKOE RE[ENIE \TOGO URAWNENIQ, NO LI[X LOKALXNO. eSLI Ux – OB-
LASTX NA Λn, KOTORAQ PROEKTIRUETSQ NA Rxn |
ODNOZNA^NO, TO NA EE PROEKCII Ω = πx(Ux) |
||||||||
OPREDELENA PROIZWODQ]AQ FUNKCIQ |
S(x), |
ZADAWAEMAQ FORMULOJ |
(6.18) |
DEJSTWIE |
˜ |
||||
|
|
|
|
|
|
( |
S(σ) |
||
W KOORDINATAH x): |
|
|
|
|
* τ=τ(x) |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
||
S(x) = S˜(σ) ≡ S˜ |
|
X(ξ, τ), P (ξ, τ) |
|
x Ω. |
|
|
|||
|
ξ=ξ(x),, |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o^EWIDNO, ^TO H x, S(x) = 0, x Ω.
eSTESTWENNO TEPERX PONIMATX POD GLOBALXNYM KLASSI^ESKIM RE[ENIEM URAWNENIQ gAMILXTONA–qKOBI NARQDU S FUNKCIEJ S(x) PROIZWODQ]U@ FUNKCI@ OSTAW[EJSQ ^AS-
TI Λn \ Ux MNOGOOBRAZIQ Λn. oKAZYWAETSQ, ^TO EE MOVNO OPREDELITX LI[X LOKALXNO, POKRYW Λn \ Ux PERESEKA@]IMISQ OBLASTQMI Uj, j J, J Z+, W KAVDOJ IZ KOTO-
RYH PROIZWODQ]AQ FUNKCIQ Sj QWLQETSQ FUNKCIEJ, ZAWISQ]EJ KAK OT KOORDINAT KONFIGURACIONNOGO PROSTRANSTWA Rnx, TAK I OT KOORDINAT IMPULXSNOGO PROSTRANSTWA Rnp , NAPRIMER, Sj = Sj(x1, . . . , xj, pj+1, . . . , pn). tAKIE FUNKCII NAZYWA@TSQ LOKALXNYMI DEJ-
STWIQMI W SME[ANNOM KOORDINATNO-IMPULXSNOM PREDSTAWLENII [ ]. oNI SOGLASOWANY
51
DRUG S DRUGOM NA PERESE^ENII OBLASTEJ Uj I Uj , j, j J PREOBRAZOWANIEM lEVAND- RA [ ] PO NESOWPADA@]IM ARGUMENTAM I UDOWLETWORQ@T URAWNENI@ gAMILXTONA–qKOBI W SOOTWETSTWU@]EM KOORDINATNO-IMPULXSNOM PREDSTAWLENII. dETALI \TIH KONSTRUKCIJ MOVNO NAJTI W [ , , ]. zDESX MY PRIWEDEM LI[X PROSTEJ[IJ PRIMER, ISPOLXZU@]IJ PREOBRAZOWANIE lEVANDRA, IZWESTNOE IZ KURSA KLASSI^ESKOJ MEHANIKI.
pRIMER 6.3. pUSTX LAGRANVEWO MNOGOOBRAZIE Λn ESTX RE[ENIE OBOB]ENNOJ LAGRAN-
VEWOJ ZADA^I kO[I DLQ URAWNENIQ H x, |
|
S |
x |
) = 0 ( |
W KOORDINATNOM PREDSTAWLENII, |
||||
ILI W ”x”- |
n |
) |
|
|
( |
|
n |
- |
|
PREDSTAWLENII CELIKOM ODNOZNA^NO PROEKTIRUETSQ KAK NA KONFIGURACION
NOE PROSTRANSTWO Rx, TAK I NA IMPULXSNOE PROSTRANSTWO Rp . i PUSTX PROIZWODQ]AQ FUNKCIQ POWERHNOSTI Λn W KOORDINATNOM PREDSTAWLENII S = S(x) QWLQETSQ WYPUKLOJ.
|
|
˜ |
PREOBRAZOWANIE lEVANDRA FUNKCII S(x) [ ]: |
|
|
oBOZNA^IM ^EREZ S(p) |
|
||||
(6.19) |
|
|
S˜(p) = −S(x) + p, x |
x=X(p), |
|
|
|
|
|
|
|
GDE X(p) – GLADKIJ KORENX URAWNENIQ |
|
|
|||
(6.20) |
|
|
p = xS(x). |
|
|
|
|
|
|
˜ |
UDOWLETWORQET URAW- |
iZ IZWESTNYH SWOJSTW PEROBRAZOWANIQ lEVANDRA SLEDUET, ^TO S(p) |
|||||
NENI@ H p, |
˜ |
|
|
|
|
∂S |
|
|
|
||
|
= 0, |
KOTOROE ESTESTWENNO NAZYWATX URAWNENIEM gAMILXTONA–qKOBI W |
|||
∂p |
|||||
IMPULXSNOM PREDSTAWLENII (”p”-PREDSTAWLENII). tAKIM OBRAZOM, W RASSMATRIWAEMOM |
|||||
PRIMERE POD KLASSI^ESKIM RE[ENIEM URAWNENIQ H x, S(x) |
= 0 MOVNO PONIMATX |
|||||
|
|
|
DEJSTWIE W IMPULXSNOM |
|||
KAK DEJSTWIE W KOORDINATAH x = (x1, . . . , xn) (S = S(x)), TAK I |
|
I |
|
|||
PREDSTAWLENII |
˜ ˜ |
oNI SOGLASOWANY DRUG S DRUGOM FORMULAMI |
(6.19) |
(6.20). |
||
|
(S = S(x)). |
|
|
|
||
gEOMETRI^ESKIJ SMYSL PREOBRAZOWANIQ lEVANDRA SOSTOIT W TOM, ^TO POWERHNOSTX Λn QWLQETSQ GRAFIKOM KAK GRADIENTA FUNKCII S(x) (W ”x”-PREDSTAWLENII), TAK I GRADIENTA
FUNKCII |
˜ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S(p) (W ”p”-PREDSTAWLENII): |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(6.21) |
Λ |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
˜ |
|
|
|
|
: p = P (x) = xS(x) x = X(p) = pS(p). |
|
|
|
||||||||||
uPRAVNENIE. dOKAVITE POSLEDNEE UTWERVDENIE. |
|
|
|
|||||||||||
uPRAVNENIE. pOKAVITE, |
^TO RE[ENIE OBOB]ENNOJ LAGRANVEWOJ ZADA^I kO[I DLQ |
|||||||||||||
|
|
|
– |
|
∂t + |
2 |
∂x |
|
= 0 S NA^ALXNYM LAGRANVEWYM |
|
2 |
- |
||
URAWNENIQ gAMILXTONA qKOBI |
∂S |
|
1 |
|
∂S |
|
2 |
MNOGOOB |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
RAZIEM Λ˜ |
0n IZ PRIMERA 6.1 (RIS. ), GDE n = 1, DAET PRI t > 0 DEJSTWIE S(x, ξ, t) = |
(x − ξ) |
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2t |
|
|
zAME^ANIE. rE[ENIE, UKAZANNOE W POSLEDNEM UPRAVNENII IZWESTNO W KLASSI^ESKOJ MEHANIKE KAK DWUHTO^E^NAQ HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ gAMILXTONA [ ]. w IDEMPOTENTNOM ANALIZE [ , ] \TA VE FUNKCIQ S(x, ξ, t) IGRAET ROLX FUNKCII gRINA DLQ NESTACIONARNOGO URAWNENIQ gAMILXTONA–qKOBI. rE[ENIE ZADA^I
|
∂S |
+ |
1 |
|
∂S |
2 |
||
∂t |
2 |
∂x |
|
= 0, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
t=0 = S0(x), |
|
|||||
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
52
GDE S0(x) – WYPUKLAQ FUNKCIQ, ZADAETSQ IDEMPOTENTNOJ SWERTKOJ FUNKCII S(x, ξ, t) S NA^ALXNYM USLOWIEM
(6.22) |
S(x, t) = . S(x, ξ, t) ! S0(ξ) dξ, |
|
|
W KOTOROJ OPERACIQ OBOB]ENNOGO SLOVENIQ ESTX OPERACIQ WZQTIQ NIVNEJ GRA- NI inf , A OBOB]ENNOGO UMNOVENIQ ! – OBY^NOE SLOVENIE. w QWNOM WIDE FOR- MULA (6.22) WYGLQDIT SLEDU@]IM OBRAZOM:
S(x, t) = inf |
(x − ξ)2 |
+ S0(ξ) . |
ξ R |
2t |
|
uPRAVNENIE. pOLU^ITE RE[ENIE ZADA^I ZADA^I kO[I IZ PRIMERA 4.1 NA OSNOWE FOR-
MULY (6.22).
53