Конспект лекций по дисциплине Уравнения Математической Физики (УМФ)

§2 zADA^A kO[I DLQ KWAZILINEJNOGO I LINEJNOGO URAWNENIJ.

mETOD HARAKTERISTIK EE RE[ENIQ

2.1pOSTANOWKA ZADA^I kO[I

DLQ KWAZILINEJNOGO URAWNENIQ (n = 2)

w DANNOM PUNKTE RASSMATRIWAETSQ URAWNENIE

oB]EE RE[ENIE \TOGO URAWNENIQ STROITSQ S POMO]X@ HARAKTERISTI^ESKOJ SISTEMY

11

pOSTAWIM DLQ URAWNENIQ (2.1) ZADA^U kO[I, ISPOLXZUQ ANALOGI@ S KURSOM odu.

pERENESEM \TU POSTANOWKU ZADA^I kO[I NA URAWNENIE (2.1). pROINTERPRETIRUEM RE-

PROSTRANSTWE ESLI

|TU POWERHNOSTX NAZYWA@T INTEGRALXNOJ POWERHNOSTX@, OTWE^A@]EJ RE[ENI@ u(x) URAWNENIQ (2.1).

12

pROWEDEM TEPERX W ZADA^E kO[I DLQ OBYKNOWENNOGO DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ SLEDU@]U@ ZAMENU PEREMENNYH :

uTO^NIM PONQTIE INTEGRALXNOJ POWERHNOSTI, ISHODQ IZ SLEDU@]EGO GEOMETRI^ES-

wYWOD. w KAVDOJ TO^KE INTEGRALXNOJ POWERHNOSTI WEKTORNOE POLE HARAKTERISTI^ESKOJ SISTEMY (2.2) LEVIT W KASATELXNOJ PLOSKOSTI K \TOJ INTEGRALXNOJ POWERHNOSTI. dRUGIMI SLOWAMI, INTEGRALXNAQ POWERHNOSTX RASSLAIWAETSQ NA HARAKTERISTIKI. a IMENNO, SPRAWEDLIWO SLEDU@]EE UTWERVDENIE.

uTWERVDENIE. eSLI M0 Su I LM0 – HARAKTERISTIKA, PROHODQ]AQ ^EREZ M0, TO \TA HARAKTERISTIKA CELIKOM LEVIT NA POWERHNOSTI Su.

oTS@DA PRIHODIM K SLEDU@]EJ POSTANOWKE ZADA^I kO[I DLQ URAWNENIQ (2.1): PROWES-

TI ^EREZ ZADANNU@ W R3x,u KRIWU@ Γ, OPREDELQEMU@ NA^ALXNYMI DANNYMI, INTEGRALXNU@ POWERHNOSTX Su, SODERVA]U@ \TU KRIWU@ Γ (RIS. 2.3).

13

iZ UTWERVDENIQ TAKVE SLEDUET GEOMETRI^ESKIJ ALGORITM RE[ENIQ \TOJ ZADA^I:

NADO WYPUSTITX IZ TO^EK M0 Γ HARAKTERISTIKI LM0 I ZATEM WZQTX IH OB_EDINENIE. pOLU^ENNAQ TAKIM OBRAZOM POWERHNOSTX, SOTKANNAQ IZ HARAKTERISTI^ESKIH KRIWYH,

I ESTX ISKOMAQ INTEGRALXNAQ POWERHNOSTX.

2.2aLGORITM a1 RE[ENIQ ZADA^I kO[I DLQ KWAZILINEJNOGO URAWNENIQ (n = 2)

2◦. pOSTAWITX DLQ SISTEMY (2.5) ZADA^U kO[I S NA^ALXNYMI USLOWIQMI NA KRIWOJ Γ

(2.6) x|τ=0 = X0(ξ), X0(ξ) = X01(ξ), X02(ξ) , u|τ=0 = u0(ξ),

4◦. rAZRE[ITX SISTEMU (2.7) OTNOSITELXNO PARAMETROW τ I ξ:

ξ = ξ(x1, x2),

(2.9)

τ = τ(x1, x2).

14

|TO WOZMOVNO PRI WYPOLNENII USLOWIQ

uTWERVDENIE. eSLI FUNKCIQ (2.11) ODIN RAZ DIFFERENCIRUEMA PO x = (x1, x2), TO ONA QWLQETSQ RE[ENIEM ZADA^I kO[I (2.1)–(2.4).

tREBUETSQ DOKAZATX, ^TO POWERHNOSTX S, PARAMETRI^ESKI ZADANNAQ SOOTNO[ENIQMI (2.7)–(2.8), ESTX INTEGRALXNAQ POWERHNOSTX S = Su, SODERVA]AQ ZADANNU@ KRIWU@ Γ.

dOKAZATELXSTWO. w PROIZWOLXNOJ TO^KE M S S KOORDINATAMI (x, u), GDE x I u OPRE- DELQ@TSQ SOOTNO[ENIQMI (2.7) I (2.8), WY^ISLIM

PROIZWOLXNOJ TO^KE x IZ OKRESTNOSTI KRIWOJ γ. pRI^EM, W SILU FORMUL (2.6)–(2.11) u(x) x γ = U(ξ, 0) = u0(ξ).

uPRAVNENIE. pUSTX WYPOLNENY USLOWIQ UTWERVDENIQ. dOKAVITE, ^TO FUNKCIQ (2.11) QWLQETSQ EDINSTWENNYM RE[ENIEM ZADA^I kO[I (2.1),(2.4).

2.3iNTEGRIROWANIE ZADA^I kO[I DLQ LINEJNOGO URAWNENIQ OB]EGO WIDA (n = 2). aLGORITM a2

w DANNOM PUNKTE RASSMATRIWAETSQ URAWNENIE

15

aLGORITM a2 RE[ENIQ ZADA^I kO[I

DLQ LINEJNOGO URAWNENIQ OB]EGO WIDA (n = 2)

1◦. wYPISATX SISTEMU HARAKTERISTIK DLQ URAWNENIQ (2.12):

GDE u˜(ξ, τ) – RE[ENIE ZADA^I (2.17)–(2.18).

uTWERVDENIE. eSLI FUNKCIQ u(x) SU]ESTWUET I ODIN RAZ DIFFERENCIRUEMA, TO ONA QWLQETSQ RE[ENIEM ZADA^I kO[I (2.12)–(2.13).

16

dOKAZATELXSTWO. fORMULA (2.16) PRI WYPOLNENII USLOWIQ (2.20) W NEKOTOROJ OKREST- NOSTI D(γ) KRIWOJ γ ZADAET SPECIALXNU@ ZAMENU KOORDINAT: (x1, x2) ←→ (ξ, τ). oDNA IZ KOORDINATNYH LINIJ \TOJ SISTEMY KOORDINAT, A IMENNO ξ = ξ(x1, x2) = const QWLQETSQ HARAKTERISTIKOJ URAWNENIQ (2.12) (RIS. 2.4).

~EREZ KAVDU@ TO^KU M D(γ) PROHODIT EDINSTWENNAQ HARAKTERISTIKA lξ I, BOLEE TOGO, SU]ESTWUET EDINSTWENNOE ZNA^ENIE τ TAKOE, ^TO HARAKTERISTIKA lξ W MOMENT τ POPADAET W TO^KU M S KOORDINATAMI (ξ, τ).

rASSMOTRIM FUNKCI@ (2.21). wOSPOLXZUEMSQ TOVDESTWOM

MAET WID (2.17). oTS@DA, W SILU PROZWOLXNOSTI WYBORA TO^KI M D(γ), SLEDUET, ^TO

FUNKCIQ (2.21) UDOWLETWORQET URAWNENI@ (2.12) W OBLASTI D(γ). pRI \TOM, W SILU FOR-

MUL (2.15), (2.16) I (2.18)–(2.21), NA KRIWOJ γ IMEEM u(x) x γ = u˜(ξ, τ) τ=0 = u0(ξ).

pUSTX WSE KO\FFICIENTY W URAWNENII (2.12) BESKONE^NOE ^ISLO RAZ DIFFERENCIRUEMY. wOZNIKAET WOPROS: WSEGDA LI W \TOM SLU^AE ZADA^A kO[I IMEET RE[ENIE I ESLI DA, TO EDINSTWENNOE LI ONO? sLEDU@]IE NIVE PRIMERY POKAZYWA@T, ^TO ZADA^A kO- [I (2.12)–(2.13) NE WSEGDA IMEET RE[ENIE, A ESLI I IMEET, TO ONO, WOOB]E GOWORQ, NE EDINSTWENNO. pRI^INA \TOGO KROETSQ W POWEDENII HARAKTERISTI^ESKIH KRIWYH SISTEMY (2.14) W OKRESTNOSTI ZADANNOJ KRIWOJ γ.

pRIMER 2.1. rASSMOTRIM ZADA^U kO[I DLQ LINEJNOGO URAWNENIQ BEGU]EJ WOLNY:

MY (2.14).

17

pRIMER 2.2. rASSMOTRIM ZADA^U kO[I

x∂u − y ∂u = 0, ∂y ∂x

u|x=1 = u0(y),

GDE γ = (x, y): x = 1 . fAZOWYE TRAEKTORII HARAKTERISTI^ESKOJ SISTEMY

x˙ = −y, y˙ = x

NO W ODNOJ SWOEJ TO^KE (x = 1, y = 0) ONA KASAETSQ HARAKTERISTIKI x2 + y2 = c PRI c = 1 (RIS. 2.5).

§3 kORREKTNOSTX ALGORITMOW a1 I a2.

iNTEGRIROWANIE URAWNENIQ NERAZRYWNOSTI I URAWNENIJ PERENOSA

3.1kORREKTNOSTX ALGORITMA a2

tEOREMA 3.1. pUSTX WYPOLNENY SLEDU@]IE USLOWIQ:

1) γ = x1 = X01(ξ), x2 = X02(ξ), ξ I0 – GLADKAQ KRIWAQ (X0i(ξ) C(1)(I0), i = 1, 2,

I X01 (ξ) 2 + X02 (ξ) 2 = 0);

2)u0 – GLADKAQ FUNKCIQ;

3)WEKTORNOE POLE a(x), KO\FFICIENT b(x) I PRAWAQ ^ASTX f(x) URAWNENIQ (2.12) PRI- NADLEVAT KLASSU C(1)(D), γ D R2, I WEKTORNOE POLE a(x) = 0 PRI x D (NET STACIONARNYH TO^EK W OKRESTNOSTI KRIWOJ γ);

18

4)NI W ODNOJ TO^KE NA^ALXNOJ KRIWOJ γ WEKTORNOE POLE HARAKTERISTI^ESKOJ SISTE- MY a(x) NE KASAETSQ γ:

KRIWOJ γ W TO^KE ξ (RIS. 3.1).

tOGDA ALGORITM a2 PO FORMULE (2.21) OPREDELQET ODIN RAZ DIFFERENCIRUEMU@ FUNKCI@ u(x1, x2) W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI

Vδ(γ) = (x1, x2): x1 = X1(ξ, τ), x2 = X2(ξ, τ), ξ I0, τ Iξ, J(ξ, τ) = 0 ,

GDE FUNKCII Xi(ξ, τ), i = 1, 2, OPREDELENY W PUNKTE 3◦ ALGORITMA.

dOKAZATELXSTWO SLEDUET IZ

1)TEOREM SU]ESTWOWANIQ I EDINSTWENNOSTI (ZADA^I kO[I) KURSA odu (WEKTOR-FUNKCIQ X(ξ, τ) I FUNKCIQ u˜(ξ, τ) SU]ESTWU@T I ODIN RAZ DIFFERENCIRUEMY PO τ PRI KAVDOM ξ);

2)TEOREM KURSA odu O DIFFERENCIRUEMOSTI RE[ENIQ ZADA^I kO[I PO NA^ALXNYM DAN- NYM (WEKTOR-FUNKCIQ X(ξ, τ) I FUNKCIQ u˜(ξ, τ) DIFFERENCIRUEMY PO ξ);

3)TOGO FAKTA, ^TO PO TEOREME OB OBRATNOJ FUNKCII RE[ENIE SISTEMY (2.16) τ(x), ξ(x), ZADAWAEMOE SOOTNO[ENIQMI (2.19) SU]ESTWUET, EDINSTWENNO I ODIN RAZ DIFFERENCIRUEMO PO ξ, ESLI WYPOLNENO USLOWIE (2.20).

pOKAVEM, ^TO USLOWIE 4) TEOREMY OBESPE^IWAET WYPOLNENIE USLOWIQ (2.20) W NEKOTOROJ MALOJ OKRESTNOSTI KRIWOJ γ. iMEEM

19