Упражнение.

Сформулируйте задачу Коши для квазилинейного уравнения размерности большей, чем 2.

Замечание (о катастрофе в решении).

Нарушение условия (*) приводит к катастрофам в решении задачи Коши, а именно: там, где (*) нарушается, решение может стать многозначным, а следовательно происходит ветвление решения или потеря его гладкости.

§5. Моделирование потока жидкости в «трубе»

Постановка задачи.

Рассматривается идеальная, сжимаемая жидкость, идущая по трубе, в каждой точке которой задано трехмерное поле скоростей, и плотность в начальный момент времени: Требуется определить плотность а каждый момент времени:

 (x,t)=?.

Требуется также определить, существует ли такое t*:  (x,t*)=. Т.е. требуется определить, взорвется ли труба.

Вывод уравнения.

Воспользуемся законом сохранения массы.

.

Получили уравнение неразрывности. Получаем задачу Коши:

Из формул векторного анализа:

Заметим также, что

 ={(x,t): t=0, x= ,  R³},

Решение задачи о «трубе».

Применяем алгоритм.

1)

2)

Отметим, что не касается ,

, т.к.t= .

3)

4)

5)

- единственное решение вV_ ( ) – малой окрестности .

Заменим во всех формулах  на t. Тогда получаем:

, где

,

где  = (t,x) – решение уравненияx=X(t, ) (7’),

где X(t, ) – решение задачи Коши

при условии выполнения

J’(t, )=0  уравнениеx=X(t, ) имеет несколько решений _j= _j(x,t), j=1,2,….

 t*:  (x(t*),t*)=.

Задача: выяснить, когда такое будет?

Теорема.

Пустьv(x,t)C¹(D), D.

Тогда

Лемма 1 (Лиувилля).

Имеет место формула:

при условии, чтоJ0, J( ,0)=1.

Доказательство теоремы.

Следует из формулы (5’).

, что и требовалось.

Доказательство леммы 1.

. Докажем, что.

-матрица Якоби.

, что и требовалось.

Замечание.

Еслитаково, что

.

Пример поля, удовлетворяющего замечанию.

.

H(p, x) –функция Гамильтона.

-2n уравнений –система Гамильтона Якоби.

фазовый объем сохраняетсяH(p,x) – глобальный 1-ый интеграл (во всем фазовом пространстве). Действительно,

В качестве примера рассмотрим . Здесь- кинетическая энергия, аV(x)= - потенциальная энергия.

Система Гамильтона здесь

§6. Задача Коши для уравнения Гамильтона-Якоби

Понятие уравнения Гамильтона-Якоби.

-нестационарное уравнение Гамильтона-Якоби.S=S(x,t),xRⁿ⁺¹.

-стационарное уравнение Гамильтона-Якоби.S=S(x), xRⁿ.

Здесь: H(x,p,t) – функция Гамильтона-Якоби.,S –действие по Гамильтону.

Постановка задачи Коши для нестационарного уравнения Гамильтона-Якоби.

, t>0, xRⁿ.

Алгоритм решения этой задачи на примере.

Применим алгоритм.

1) Составляем систему Гамильтона-Якоби:

2) Ставим для нее задачу Коши:

Решение этой задачи Коши – параметрическое семейство:

- лучx=X(x₀,t).

3) Используем следующую формулу:

Замечание.

В физике H=.Тогда, где-функция Лагранжа.

4) Из формулывыражаемx₀.

главное решение уравнения.

Для примера положим, что

5) Находим окончательный ответ из формулы:

Если , то решение

X=x₀+ x₀ t.

J(x₀,t)=1+ , t0.

.

.

Возможны 2 случая:

1)  >0, J(x₀,t)=1+ t >0  t>0.

2)  <0  J=0 при t=t*=.

X(x₀ ,t*)=x₀(1+ t*)=0.

P(x₀ ,t*)=x₀.

Вэтом случае ответ годится только в интервале[0, t*), t* - момент наступления катастрофы в решении.