Введение

Предмет У.М.Ф– уравнения в частных производных (У.Ч.П.), представляющие собой математические модели физических процессов в непрерывных средах.

Цель У.М.Ф– изучить точные (аналитические) и приближенные методы решения У.Ч.П., а также дать вывод ряда У.Ч.П., моделирующих процесс тепломассопереноса и передачи.

Первичные понятия.

Непрерывная среда – это множествоD  Rⁿ.

Состояние среды –это отображениеu: D  R¹. u = u(x₁,x₂,…,x_n).

Процесс – это связь между функциейu, переменнымиx_iи частными производными функции

k – порядок уравнения.n – размерность уравнения.

Это и есть У.Ч.П.:L (x, u(x), Du, D²u,…,D^Nu) = 0.

L – любая гладкая функция всех своих аргументов.N– порядок.

Примеры.

1) u = -4(x), xR³, n=3.

,N = 2.

Это Уравнение Пуассона– уравнение 2-ого порядка. Оно линейное, неоднородное, стационарное.

2) ,n = 4, N = 2.

Это Волновое уравнение колебаний– уравнение 2-ого порядка, линейное, в пространстве 4-х переменных, нестационарное.

Глава 1 «Уравнения 1-ого порядка»

, L – произвольная гладкая функция.

Порядок N=1, xRⁿ.

Основной результат математического анализа XIXвека говорит: интегрирование У.Ч.П. 1-ого порядка сводится к интегрированию некоторой системы обыкновенных дифференциальных уравнений (О.Д.У.) 1-ого порядка.

§1. Линейные У.Ч.П. 1-го порядка

Пример (линейное уравнение бегущей волны).

Рассмотрим стальную бесконечную проволоку (струну).

волна бежит вправо

После отклонения побежит волна.

Умножим второе уравнение на a и вычтем его из первого. Получим:

,N=1, n=2.

Функция u(x,t)– общее решение уравнения.

Уравнение (*) – линейное уравнение бегущей волны.

Понятие линейного уравнения 1-ого порядка.

; xDRⁿ, D – область.

По теореме о существовании и единственности в Rⁿ  x=X(,), I_ = (-, ).

l_ = {x=X(, ), I_ }.

Положим

Уравнения (4) называются линейными уравнениями 1-ого порядкас произвольным числом независимых переменных.

Для уравнений (4) исходная система (1) называется характеристической, а ее решения –характеристикамиилихарактеристическими кривыми.

Построим общее решение системы (4) на основе фактов из курса О.Д.У.

Теорема 1.

Пустьв областиD задано векторное полеa(x)0.

Тогдаu(x) - 1-ый интеграл системы (1)u(x) удовлетворяет уравнению (4).

Доказательство.

Пусть u(x) – первый интеграл, т.е. такая функция, которая постоянна на любой фазовой траектории системы (1), т.е.

(5) u(X(,))=const I_ , D.

Продифференцируем (5) по  :

Положим =0, X(0,)=. Тогда получим соотношение:

А это и есть уравнение (4) в точке . А так как - произвольное, то (4) выполнено в каждой точке областиD. Необходимость доказана.

Достаточность докажите самостоятельно.

Замечание 1.

Таким образом, уравнение (4) на характеристиках превращается в элементарное О.Д.У.

Теорема 2 (теорема существования).

Пустьx₀ – не особая точка векторного поля, и пустьD=V(x₀) – ее некоторая окрестность.

Тогдав областиD у уравнения (1)ровноn-1функционально-независимых 1-ых интегралов:u₁(x),…,u_n-1(x): rang ()=n-1.

Замечание 2.

Пусть FC¹(Rⁿ). Рассмотримu(x)=F(u₁(x),…,u_n-1(x)) (7)

Можно простой выкладкой показать, что функция u(x)– тоже 1-ый интеграл, но функционально-зависимый от этихn-1интегралов.

Теорема 3 (об общем решении линейного уравнения).

В области D, гдеa(x)0, общее решениеu(x)уравнения (4) определяется формулой:u(x)=F(u₁(x),…,u_n-1(x)), гдеu₁,…,u_n-1 – 1-ые интегралы системы (1),FC¹(Rⁿ)– любая гладкая функция.

Эта теорема очевидна.

§2. Квазилинейные уравнения: характеристики и общее решение

Определение (квазилинейное уравнение).

- квазилинейное уравнение.

Замечание 1.

Если b(x,u)=f(x)-b(x)u, аa(x,u) не зависит отu, то получаем уравнение:

В

Утверждение 1 (характеристическая система квазилинейного уравнения).

Характеристической системой для уравнения (1) является автономная система в R ⁿ⁺¹ следующего вида:

Теорема 1 (об общем решении квазилинейного уравнения).

Произвольное гладкое решение У.Ч.П. (1) неявно задано уравнением вида:

F(v₁(x,u), v₂(x,u),…,v_n(x,u))=0 (3)

в области , гдеv₁,v₂,…,v_n – n первых интегралов характеристической системы (2), а функцияF– любая гладкая функцияn переменных (FC¹(Rⁿ)).

Доказательство утверждения 1 и теоремы 1.

Следует из предыдущего параграфа, а именно: пусть u(x)– гладкое решение уравнения (1). Будем считать, что оно определено неявным образом из уравнения:

(4) V(x₁ ,x₂ ,…,x_n ,u(x))=0 ().

Выразим через.

Продифференцируем (4):

(5) – линейное уравнение относительно функции V.

Итак, с учетом теоремы из предыдущего параграфа, утверждение 1 доказано.

Более того, по этой теореме общее решение уравнения (5) есть произвольная гладкая функция от nнезависимых 1-ых интегралов системы (2), а, следовательно, (4):

V=F(v₁,v₂,…,v_n(x,u))=0 – задает неявноu(x).

Итак, теорема 1 также доказана.