5.2 Методичні рекомендації до самостійної роботи студентів

Під час підготовки до практичного заняття необхідно вивчити відповідний розділ конспекту лекцій та ознайомитися з матеріалом підручників [1, c. 54-62; 2, c. 54-62; 4, c. 23-28; 9, c. 11-17].

При повторенні матеріалу слід звернути увагу на такі питання:

• функціональні відношення, відображення;

• типи відображень – ін'єкція, бієкція, сюр'єкція;

• реляційна модель даних і реляційна алгебра;

• операції алгебри відношень.

5.3 Приклади розв’язання типових завдань

1. Нехай є множина A кроликів і множина B кліток. Нехай R – відношення розміщення кроликів по клітках – "Кролик – Клітка". Як би ми не розміщували кроликів по клітках, у будь-якому випадку відношення R буде функціональним, оскільки кожному кролику може відповідати тільки одна клітка. Позначимо кроликів літерами, а клітки – номерами. Нехай A={a,b}, B={1,2,3}. На рис. 5.1 зображені функціональні відношення R₁={(a,1),(b,3)} та R₂={(a,1),(b,1)}. Прикладом нефункціонального відношення є відношення R₃={(a,1),(a,2),(b,3)}. Воно може бути подано в термінах розміщення кроликів по клітках, як показане на рис. 5.1.

2. Розглянемо відношення R: "Кролики – Клітки". R є функціональним відношенням, як було показано раніше. Як можна подати різні види функціональних відношень за допомогою відношення "Кролики – Клітки"?

R₁ R₂ R₃

Рисунок 5.1

На схемі, поданій на рис. 5.2 а, множина з шістьох кроликів X={a,b,c,d,e,f} розміщується у множині кліток Y={1,2,3,4}. Ця схема розміщення відповідає відношенню, граф якого наведено на рис. 5.2 б.

У термінах кроликів та кліток R не буде відображенням, якщо не всі кролики розміщені у клітках. Однак R є функцією з областю визначення D_R={c,d,e,f} і областю значень . Далі зображуватимемо тільки схеми кроликів і кліток, припускаючи, що не складно визначити вигляд графа відношень, якому відповідає схема.

а б

Рисунок 5.2

Розглянемо кілька інших варіантів розміщення кроликів. Зазначимо, що функція R буде відображенням, якщо всі кролики поміщені в клітки D_R=X (рис. 5.3).

Рисунок 5.3

R є сюр’єктивним відображенням, якщо всі клітки зайняті (рис. 5.4 а).

Для реалізації ін’єктивного відображення шістьох кроликів (|X|=6) необхідно збільшити кількість кліток, тобто збільшити потужність множини Y. R буде ін’єктивним відображенням, якщо у кожній клітці поміщено не більше одного кролика, але можуть залишатися і порожні клітки, як показано на рис. 5.4 б.

R є бієктивним відображенням, якщо в кожній клітці знаходиться по одному кролику (рис. 5.4 в).

а) |X|=6, |Y|=4 б) |X|=6, |Y|=8 в) |X|=6, |Y|=6

Рисунок 5.4

5.4 Контрольні запитання та завдання

1. Яке відношення називається функціональним?

2. Що таке область визначення та область значень відношення?

3. Яке відношення називається відображенням?

4. Дайте визначення сюр’єктивного, ін’єктивного та бієктивного відображень. Чим характеризується граф кожного з цих відображень?

5. Який вид відображення можна назвати "багато до одного", який – "один до одного"?