4 Практичне заняття № 2. Відношення та їх властивості

4.1 Мета заняття

Ознайомитися з основними поняттями теорії відношень. Набути навичок визначення властивостей бінарних відношень, а також їхніх класів.

4.2 Методичні рекомендації до самостійної роботи студентів

Під час підготовки до практичного заняття необхідно вивчити відповідний розділ конспекту лекцій та ознайомитися з матеріалом підручників [1, c. 30-54; 2, c. 30-54; 3, c. 13-20; 4, c. 29-35; 9, c. 17-29; 12, c. 98-132; 15, c. 13-29; 17, c. 7-22].

При повторенні матеріалу слід звернути увагу на такі питання:

• декартів добуток множин, кортежі, упорядковані пари;

• поняття відношення;

• бінарні відношення, властивості бінарних відношень;

• операції над відношеннями;

• обернене відношення, композиція відношень;

• властивості відношень, види відношень;

• способи задання відношень.

4.3 Приклади розв’язання типових завдань

1. Нехай А₁={1,2}, А₂={3,4}, А₃={5,6}. Знайти А₁А₂, А₁А₂А₃, |A₁А₂A₃|.

А₁А₂ ={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)};

А₁А₂А₃ ={(1,3,5),(1,3,6),(1,4,5),(1,4,6),(2,3,5),(2,3,6),(2,4,5),(2,4,6)};

|А₁А₂А₃|=|А₁||А₂||А₃|= 222= 8.

2. Нехай задані множини A={a,b,c,d,e,f}, B={1,2,3,4} і відношення R={(a,1),(a,2),(b,4),(d,1),(f,4)}. Граф цього відношення зображено на рис. 4.1 а. Для того, щоб побудувати граф відношення R^-1, змінимо напрямки дуг – рис. 4.1 б. R^-1={(1,a),(2,a),(4,b),(1,d),(4,f)}.

а б

Рисунок 4.1

З отриманого графа видно, що R^-1BA.

Нехай є множина С={w,x,y,z} і B={1,2,3,4} та відношення S={(1,x),(2,y),(3,x),(3,z)}. Доповнимо рис. 4.1, зобразивши на ньому крім графа відношення R, граф відношення S (рис. 4.2).

3. Задати бінарне відношення "а поділяє b" за допомогою матриці, якщо aM={1,2,3}, bN={0,1,2,3,4,5}.

Рядки матриці бінарного відношення відповідають елементам першої множини, стовпчики – другої. На перетинанні рядка і стовпчика знаходиться 1, якщо відповідні їм елементи знаходяться у розглянутому бінарному відношенні, і 0 – у протилежному випадку.

Рисунок 4.2

Тому для розглянутого завдання матриця має вигляд:

	0	1	2	3	4	5
1	1	1	1	1	1	1
2	1	0	1	0	1	0
3	1	0	0	1	0	0

4. Нехай задані відношення R₁ та R₂ на множині А={1,2,3,4}, R₁,R₂А².

R₁={(1,1),(1,2),(1,4),(2,2)}; R₂={(1,1),(1,3),(2,2),(2,4)}. Тоді:

R₁R₂={(1,1),(2,2)};

R₁R₂={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,4)};

R₁\R₂={(1,2),(1,4)};

R₂\R₁={(1,3),(2,4)};

={(1,3),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.

5. На рис. 4.3 задано граф відношення «бути сестрою» на множині дітей двору. Дітям відповідають вершини А, Б, В, Г, Д, Е, Ж. Визначити, хто з них є дівчинкою, а хто – хлопчиком. Про кого нічого сказати за цим графом.

Рисунок 4.3

Дівчатка: А, Г, Б – вершини, з яких виходять дуги.

Хлопчики: Д, В, Е – вершини, у які входять дуги, але жодна з дуг не виходить.

Нічого сказати не можна про Ж. Ж не має зв’язків з жодною з вершин графа.