16.4 Контрольні запитання та завдання

1. Який граф називається плоским?

2. Що називається гранню графа?

3. Що таке підрозбиття ребер графа?

4. Який граф називається планарним?

5. Критерії планарності графа. Критерій Понтрягина-Куратовського, критерій Вагнера.

6. Яка вершина називається контактною? Наведіть приклад.

7. Доведіть, що сума ступенів вершин графа дорівнює подвоєній кількості його ребер.

8. Доведіть, що граф з п'ятьма вершинами, одна з яких має ступінь 2, є планарним.

9. Покажіть, що якщо графи G₁ та G₂ – ізоморфні, то вони мають однакову кількість вершин і ребер.

10. Доведіть, що довільний граф з чотирма вершинами є планарним.

16.5 Приклади аудиторних і домашніх задач

1. Скільки граней містять дані графи (рис. 16.11)?

Рисунок 16.11

2. Визначте, який з графів G₁,G₂, G₃ (рис. 16.12) є гомеоморфним до G:

Рисунок 16.12

3. Для кожного планарного графа (рис. 16.11), перевірити, чи виконуються умови m-n+f=0, де m – кількість вершин графа, n – кількість ребер, f – кількість граней.

4. Кожен з наведених графів (рис. 16.13) перевірте на планарність, аргументуйте рішення.

Рисунок 16.13

5. Розмістіть граф на тор (рис. 16.14).

Рисунок 16.14

6. Зобразити графи, ізоморфні даним (рис. 16.15).

Рисунок 16.15

17 Практичне заняття № 15. Відстані на графах

17.1 Мета заняття

Ознайомитися з поняттям відстані на графах та навчитися використо-вувати алгоритм Дейкстри для знаходження відстаней на графах.

17.2 Методичні рекомендації до самостійної роботи студентів

Під час підготовки до практичного заняття необхідно вивчити відповідний розділ конспекту лекцій та ознайомитися з матеріалом підручників [1, c. 292-304; 2, c. 292-304; 17, c. 64-128].

При повторенні матеріалу слід звернути увагу на такі питання:

• аксіоми метрики;

• графи з числовими характеристиками ребер (дуг);

• відстань між двома вершинами на графі;

• алгоритм визначення відстані між вершинами на графі з одиничними довжинами ребер;

• алгоритм Дейкстри визначення відстані між вершинами на графі з довільними довжинами ребер.

17.3 Приклади розв’язання типових завдань

1. Для графа, зображеного на рис. 17.1, необхідно знайти відстані від вершини до всіх інших вершин по алгоритму Дейкстри. Знайти найкоротший шлях з у .

Рисунок 17.1

Цикл 1. Біля кожної вершини ставимо її тимчасову позначку, позначка вершини – (0,1) постійна, її підкреслюємо. Знаходимо вершину , у якої перша позиція тимчасової позначки 4 – найменша. Вважаємо позначку цієї вершини постійною, підкреслюємо її.

Цикл 2. Знаходимо вершини , та , в які заходять дуги, вихідні з . Оскільки 4+2<7 та 4+5< , то тимчасові позначки вершин і виправляємо на (6,2) і (9,2) відповідно. Тимчасову позначку вершини не змінюємо. Далі знаходимо вершину , у якої перша позиція тимчасової позначки 6 – найменша. Позначку цієї вершини оголошуємо постійною й підкреслюємо її.

Цикл 3. Знаходимо вершину , в яку заходить дуга, вихідна з вершини . Оскільки 6+2<9, пишемо нову тимчасову позначку цієї вершини (8,3). Знаходимо вершину , у якій перша позиція тимчасової позначки 6 – найменша. Її позначку оголошуємо постійною.

Цикл 4. Переконуємося, що з вершини не виходять дуги. Виходячи з цього, тимчасові позначки, що залишилися, виправляти не слід. Знаходимо єдину вершину, що має тимчасову позначку – . Оголошуємо її позначку постійною.

Алгоритм закінчено: d( , )=4; d( , )=6; d( _; )=8; d( , )=12.

Використовуючи другі позиції постійних позначок, визначимо найкоротший шлях з в : .

Застосуємо алгоритм Данцига для пошуку найкоротших шляхів між усіма парами вершин графа, зображеного на рис. 17.2. Матриця D°, складена з довжин дуг цього графа, наведена на рис. 17.2.

Рисунок 17.2

Очевидно, . Величини елементів матриці D²знаходяться так:

Елементи	Відповідний шлях
	(1, 2)
	(2, 1)

Величини елементів матриці D³ знаходяться так:

Елементи	Відповідний шлях
	(1, 3)
	(2, 1), (1, 3)
	(3, 1)
	(3, 2)
	(1, 2)
	(2, 1)

Отже,

Відповідна матриця найкоротших шляхів має вигляд:

Для завершення розрахунків залишається повторити процедуру (зробити самостійно) пошуку для m = 4.