8.4 Контрольні запитання та завдання

1. Запишіть формули диз'юнктивного (кон’юнктивного) розкладання булевих функцій від n за k змінними (за n змінними, за однією змінною).

2. Дайте визначення таких понять: елементарна кон’юнкція, елементарна диз'юнкція, конституента одиниці, конституента нуля. Як ці поняття пов'язані з диз'юнктивним і кон’юнктивним розкладанням булевих функцій?

3. Які властивості мають конституенти одиниці і конституенти нуля?

4. Скільки існує конституент одиниці і нуля для функцій від n змінних?

5. Як для заданої інтерпретації булевої функції будуються відповідні їм конституенти одиниці, нуля?

6. Поясніть алгоритми переходу від таблиці істинності булевої функції до ДДНФ та ДКНФ.

7. Поясніть алгоритм переходу від ДДНФ (ДКНФ) булевої функції до таблиці істинності.

8. Дайте порівняльну характеристику алгоритмів переходу від довільної формули булевої функції до ДДНФ і ДКНФ.

8.5 Приклади аудиторних і домашніх задач

1. Випишіть конституенти нуля булевої функції f(x₁,x₂,x₃,x₄) з даного списку елементарних диз’юнкцій:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

2. Отримайте диз’юнктивне та кон’юнктивне розкладання таких функцій за змінними x, z:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

3. Отримайте ДНФ функції, яка задана формулою .

4. Отримайте КНФ формули .

5. Побудуйте таблиці істинності для функцій, які задано ДКНФ:

а) ;

б) ;

в) .

6. Знайдіть ДДНФ таких функцій:

а) f₁(x,y,z)=(1,1,0,1,0,0,0,0) (функція задана стовпчиком значень з таблиці істинності);

б) f₃(x,y,z)=xyz;

в) f₄(x,y,z)=xyz;

г) f₅(x,y,z)=(xy)z.

7. Знайдіть ДДНФ для формул:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

9 Практичне заняття № 7. Алгебра жегалкіна

9.1 Мета заняття

Набути навичок переходу від формули алгебри логіки до формули алгебри Жегалкіна. Навчитися будувати поліном Жегалкіна та перевіряти функцію на лінійність.

9.2 Методичні рекомендації до самостійної роботи студентів

Під час підготовки до практичного заняття необхідно вивчити відповідний розділ конспекту лекцій та ознайомитися з матеріалом підручників [1, c. 138-145; 2, c. 138-145; 4, c. 66-67; 9, c. 57; 12, c. 58-59; 17, c. 23-63].

При повторенні матеріалу слід звернути увагу на такі питання:

• тотожності алгебри Жегалкіна;

• формули переходу від алгебри логіки до алгебри Жегалкіна і навпаки;

• поліном Жегалкіна та правило його побудови;

• лінійні булеві функції.

9.3 Приклади розв’язання типових завдань

1. Довести, що функція диз’юнкції нелінійна.

Подамо функцію диз’юнкції у вигляді канонічного поліному:

Канонічний поліном цієї функції містить кон’юнкцію змінних x і y. Таким чином, функція диз’юнкції нелінійна.

2. Довести, що функція імплікації нелінійна.

ДКНФ імплікації (табл. 9.1) містить одну конституенту нуля з номером 10 і має вигляд .

Подамо функцію імплікації у вигляді канонічного поліному:

Таблиця 9.1

х	у	х у
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Канонічний поліном цієї функції містить добуток змінних x, y. Отже, функція імплікації нелінійна.

3. Чи є лінійною функція ?

Припустимо, що функція лінійна та її можна подати у вигляді . Обчислимо невідомі коефіцієнти с₀, с_а, с_b, с_с, c_d.

;

;

;

;

;

.