АКАДЕМИЯ УПРАВЛЕНИЯ «ТИСБИ»
Основы вычислительной математики Учебно-методическое пособие
Казань 2004
Составители: Н.Г. Леонтьева
Д.А. Роганов
Рецензенты:
Пособие содержит курс лекций по основным разделам вычислительной математики: от решения скалярных уравнений до преобразования Фурье. По всем разделам представлены контрольные вопросы и по большинству из них варианты индивидуальных заданий. Предназначено для студентов дистанционной формы обучения, а также может быть использовано в качестве учебного пособия студентами дневной и заочной форм обучения.
© Леонтьева Н.Г., Роганов Д.А., 2004.
Оглавление
ПРЕДИСЛОВИЕ 6
I. ВВЕДЕНИЕ 7
II. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ 17
II.1. Основные понятия и определения 17
II.2. Прямые методы решения систем линейных уравнений 20
II.3. Метод Гаусса решения СЛАУ 23
II.4.
Решение СЛАУ с помощью
-разложения
29
II.5. Метод итераций решения СЛАУ 36
II.6. Метод Зейделя решения СЛАУ 40
II.7. Сходимость итерационных процессов для систем
линейных алгебраических уравнений 42
II.8. Контрольные вопросы 46
II.9. Варианты индивидуальных заданий 46
III. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ
СКАЛЯРНЫХ УРАВНЕНИЙ 50
III.1. Локализация корней 50
III.2. Метод простых итераций 54
III.3.
Приведение нелинейного уравнения
к
виду
,
допускающему сходящиеся итерации 55
III.4. Метод Ньютона (Метод касательных) 58
III.5. Контрольные вопросы 61
III.6. Задачи для самостоятельного решения 62
IV. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ
НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 63
IV.1. Метод Ньютона 63
IV.2. Метод итераций 71
IV.3. Контрольные вопросы 76
IV.4. Задачи для самостоятельного решения 77
V. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И АППРОКСИМАЦИЯ 79
V.1. Интерполяция 80
V.2. Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа 81
V.3. Интерполяционный многочлен в форме Ньютона 85
V.4. Приближение методом наименьших квадратов 89
V.5. Контрольные вопросы 91
V.6. Задачи для самостоятельного решения 91
VI. РАВНОМЕРНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ 95
V.1. Полиномы Чебышева 95
VI.2. Понятие о равномерном приближении функций 100
VI.3. Контрольные вопросы 105
VII. ПРИБЛИЖЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 109
VII.1. Постановка вопроса 109
VII.2. Формулы приближенного дифференцирования,
основанные на первой интерполяционной формуле
Ньютона 108
VII.3. Формулы приближенного дифференцирования,
основные на формуле Стирлинга 112
VII.4. Контрольные вопросы 115
VII.5. Задачи для самостоятельного решения 115
VIII. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 119
VIII.1. Общие замечания 119
VIII.2.Квадратурные формулы Ньютона-Котеса 122
VIII.3. Формула трапеций и ее остаточный член 123
VIII.4. Формула Симпсона и ее остаточный член 127
VIII.5. Формулы Ньютона-Котеса высших порядков 131
VIII.6. Контрольные вопросы 132
VIII.7. Задачи для самостоятельного решения 133
IX. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 135
IX.1. Интегрирование дифференциальных уравнений
с помощью степенных рядов 136
IX.2. Метод последовательных приближений 140
IX.3. Метод Эйлера 144
IX.4. Метод Эйлера с итерациями 147
IX.5. Метод Рунге-Кутта 148
IX.6. Контрольные вопросы 151
IX.7. Задачи для самостоятельного решения 152
X. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 157
X.1. Разложение периодических функций в ряд Фурье 157
X.2. Эффект Гиббса 166
X.3. Контрольные вопросы 168
IX.4. Задачи для самостоятельного решения 168
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 170