Динамика

Динамика – раздел механики, в котором рассматривается движение тел или отдельных точек под действием сил, вызывающих это движение.

Инерциальные системы отсчёта.

Материальная точка – тело конкретной массы, размеры которого столь малы, что различием в движении отдельных его точек можно пренебречь.

Ньютон полагал, что существует абсолютно неподвижное пространство и внём существует абсолютно неподвижная система отсчёта, в которой дополняется принцип инерции Галлилея, сформулированный Ньютоном в виде І Закона Динамики следующим образом:

Изолированная материальная точка движется равномерно и прямолинейно (инерция) или находится в покое. Этот закон справедлив в инерциальных системах отсчёта.

x₁y₁z₁ – движется равномерно, поступательно и прямолинейно, то она тоже является инерциальной.

ІІ Закон Динамики:

Сила, действующая на материальную точку, сообщает ей ускорение, которое в инерциальной системе отсчёта пропорционально силе, и имеет направление силы.

- сила (мера взаимодействия тел)

() - масса тела (мера инертности)

- ускорение

с – скорость света (300000 км/сек)

V – скорость тела

V_{спутника} = 40000 км/час

V_Земли = 108000 км/час

ІІІ Закон Динамики:

Силы взаимодействия двух материальных точек всегда равны по величине и действуют на одной прямой в противоположные стороны.

ІV Закон Динамики (независимость действия сил):

Ускорение, которое преобретает материальная точка от действия нескольких сил, равно геометрической сумме ускорений, которое преобрела бы точка от действия каждой силы в отдельности.

Дифференциальные уравнения движения точки.

,

- дифференциальное уравнение движения точки в векторной форме.

- дифференциальные уравнения движения точки в прокциях на оси декартовых координат.

Принцип Даламбера.

…, m– активные (заданные силы)

,,- реакции связей

- внешние силы

- внутренние силы

- активные силы

- равнодействующая реакций связей

- внутренняя сила, действующая на данную точку

- сила инерции, действующая на данную точку

Тогда, согласно принципу Даламбера, можно записать:

Сложим уравнения, получим:

(1)

- главный вектор активных сил, действующих на систему.

- главный вектор реакций связей, наложенных на систему.

- главный вектор внутренних сил.

- главный вектор сил инерции.

(2)

Для всякой движущейся системы в любой момент времени геометрическая сумма главных векторов активных сил , реакций связейи сил инерцииравно нулю.

- главный момент активных сил относительно центраО.

- главный момент реакций связей относительно центраО.

- главный момент внутренних сил относительно центраО.

- главный момент сил инерций относительно центраО.

(3)

Для движущейся системы геометрическая сумма моментов главных активных сил , реакций связейи сил инерцийотносительно любого центра (О) равна нулю.

- диференциальное уравнение ІІ порядка, описывающее движение свободного твёрдого тела.

Для системы тел необходимо составить соответствующее число уравнений для каждого тела.

Приведение сил инерции к простейшему виду:

Аналогично поступим и с силами инерции.

Следовательно, чтобы использовать принцип Даламбера необходимо уметь определить главный вектор сил инерции и главный момент сил инерции.

Вернёмся к уравнению (2):

Обозначим:

- главный вектор внешних сил, тогда:

Вспомним теорему о движении центра масс:

, тогда

, т.е главный вектор сил инерции механической системы (твёрдого тела) равен произведению массы системы (тела) на ускорение центра масс, и направлен в сторону, противоположную ускорению центра масс.

Рассмотрим выражение (3):

Обозначим:

- главный момент внешних сил. Тогда:

Вспомним теорему об изменении кинетического момента:

, тогда .

Главный момент сил инерции механической системы относительно центра Оравен взятой со знаком "-" первой производной по времени от кинетического момента системы относительно того же центра.

Рассмотрим частный случай:

а) поступательное движение твёрдого тела:

При поступательном движении все точки тела описывают одинаковые траектории и имеют одинаковое ускорение, равное ускорению центра масс, тогда сила инерции являет собой систему параллельных сил, которые аналогично силе тяжести приводится к одной силе – равнодействующей, приложенной к центру масс.

Главный вектор сил инерции равен произведению массы тела на ускорение центра масс и направлен в сторону, противоположную ускорению.

,так как отсутствует относительное движение точек тела по отношению к центру масс

б) вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси:

Дано:

, так как центр масс лежит на оси вращения.

. Спроецируем на ось z:

Известно, что для твёрдого тела: , так как, то;.

Момент сил инерции равен произведению момента инерции тела относительно оси вращения на угловое ускорение и направлен в сторону, противоположную ускорению.

в) плоско-параллельное движение тела: