Решение задач по теоретической механике. Часть 2. Кинематика. Учебно-методическое пособие

Добавил:

Ecolog Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет инженерной экологии

Предмет:

Теоретическая механика

Файл:

w w w w 2 ππ

=π; 0+ − =

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.05.2014

Размер:

975.92 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

ϕ = π

Д л я п ол ож ения

рассмотрим

общ ий

сл у ч ай.

С ч итая

= a ,

= 2 ×

= b .

AM П ол ож ениAB е

механизма изображ ено на (рис. 15)

Как

п реды ду щ ем

сл у ч ае,

скорость

точ ки

бу дет равна

= ω × a ,

ω a ×

× = -

υA

υ A

нап равл ена

п ерп ендикул я рно

OA .

О сь Ox – л иния

на которой л еж ит

скоростьточ ки B .

П ерп ендикул я ры ,

восстановл енны ев точ ках A и B

кскоростя м п арал л ел ьны .

С л едовател ьно, М Ц С дл я данного

п ол ож ения механизма находится в

бесконеч ностиишату н AB -

совершаетмгновенное

п осту п ател ьноедвиж ение: ωAB = 0

Bω2 a ×i

υ.×Чтобυ-ы==

оп редел итьу скорениеточ ки M восп ол ьзу емся п оня тием мгновенногоцентра

вр

у скорений. Н айдём внач ал е A

-α=

wAwи

i . Уaгол

меж дwу

arctg

α = π

нап равл ением на М Ц У равен

ωAB2

. С л едовател ьно, дл я всех

точ екзвена AB вектору скорения составл я етс нап равл ением на М Ц У у гол

90 0 . Заметим, ч тоу скорениеточ ки B л еж итна осиOx

П остроим в точ ках A и B

такие

л инии,

которы е

п одходя тк у скорения м

п од

у гл ом

α = 900 .

О ни

п ересекаю тся

точ ке Q -

мгновенном

центре

у скорений.

Т ак

как

ε 2

+=ω

тоAB

мож но

оп редел ить

у гл овое

у скорение звена

п о

ф орму л е

ω 2 a

. Н ап равим,

как п оказано на (рис.

16.)

b2 - a 2

У скорение точ ки

найдём

п о

ф орму л е

ε 2

+=ω 2

;

ω 2 ab

так как QM = b , то

а нап равл ен э тотвектор п од у гл ом

− a 2

ϕ =

3π

к отрезку

QM . Д л я п ол ож ений

ϕ = π

решениеп роводится

анал огич но, ч топ редл агается сдел атьч итател ю самостоя тел ьно.

Д оп ол нител ьно рассмотрим ещ ё

один сп особ оп редел ения

ωAB

и ε AB дл я

л ю бого

п ол ож ения

механизма.

С ч итая

= a ,

OA = b ,

изABобразим

п роизвол ьноеп ол ож ениемеханизма. У гол

ϕ оп редел я етп овороткривошип а

вокру г O . У гол ψ - оп редел я етвращ ениешату на AB в п л оскости xOy. Е сл и

мы

оп редел им ψ = ψ (t) , тоωAB

=ψ (t) , а

ε AB =ψ (t) .

О ч евидно, ч тодл я л ю богоп ол ож ения механизма

ϕ − b

ψ = 0

cos

sin(8.5)

П родиф ф еренциру ем (8.5) п овремени, п ол у ч им

a cosϕϕ

ϕ ϕ× cos-

ψ =

cosÞψ =ψ ×

b cosψ

у гл овая

скорость кривошип а

OA,

то дл я

л ю бого

У ч иты вая , ч то ϕ = ω

п ол ож ения механизма, п риизвестны ху гл ахϕ иψ у гл овая скоростьзвена AB

оп редел я ется ф орму л ой ωAB

a cosϕ

b cosψ

П родиф ф еренциру ем (8.5) дваж ды

п овремени, п ол у ч им

−

ϕ +

ϕϕ +

ψψ − b

cosa

& &

ψψ = 0ba

sin

- a sina

& 2

bsinψ

ϕϕ

ψ ϕϕ cos

ψ =

b cosψ

ψ&&

&& =

εOA

& =

ωOA

ω ,

ωAB ,

тодл я заданны ху гл ов

У ч иты вая , ч то ϕ

a ψ

оп редел я етε AB - мгновенноеу гл овоеу скорение.

( ) =

ωt)

acos(x t

Ответ: Закондвиж ения точ ки M :

( ) =

ωt)

asin( y t

Т раектория точ ки M : э л л ип с

= 1

(

ωt)

acos(x t

2 ( )

Закондвиж ения п ол зу на B

: í

= 0 ( )

îy t

& = - υ=

ωt) x2 ω sin(a

4. С корость и у скорениеточ ки B :

= a

îυY

= y

ωt) 2 ω sin( υυ

2==

a +

= - = ω

ωt)2

cos(aw

= 0

ïw

= x

ω+

ωt) 2

2==

cos(a

5.,6.,7. П ри ϕ = 0 :

ωa

(ω2 + ω=) −i

,aωAB = ω , ε AB = 0

ϕ = π

= a ,

OA = b ,

υυ

П ри

-A=

ωai ,

ABυ 0,

ω 2ab

2 b2 - a2

У скорениеточ ки M нап равл еноп оду гл ом α = 900

кл инии MQ (см. рис.

16)

ω 2 a

ε AB =

- a2

§8. С лож н оедви ж ен и еточки .

Скор остьточки в слож н ом дви ж ен и и .

Скоростьточ кив сл ож ном движ енииоп редел я ю тп оф орму л е

где

=ν +νae ,

(9.1)

- скоростьточ киотносител ьноу сл овнонеп одвиж ной системы

отсч ёта

(абсол ю тная скорость);

- скоростьточ киотносител ьноп одвиж ной системы

отсч ёта

(относител ьная скорость);

- скоростьтой точ кип одвиж ной системы

отсч ёта, ч ерезкотору ю в

данны й моментп роходитрассматриваемая точ ка

(п ереносная скорость).

Задача

14. В

кривошип но-ку л исном механизме

с п осту п ател ьно

движ у щ ейся

кул исой

(рис. 18,

а)

кривошип

О А дл иной r вращ ается с

п остоя нной у гл овой скоростьω 0

и п риводитв движ ениеку л ису В В ,

п рорезь

которой образу етс нап равл ением её п еремещ ения п остоя нны й у гол ,

равны й

60º. О п редел ить скорость ку л исы

и скорость скол ьж ения

камня А в п рорези

ку л исы , есл и

в нач ал ьны й момент времени

кривошип

занимал

л евое

горизонтал ьноеп ол ож ение.

Р еш ение.

Д виж ение камня

А мож но изу ч ать п о отношению

к дву м

системам отсч ёта:

п о отношению к неп одвиж ной системеOxy (абсол ю тное

движ ение)

п о

отношению

п одвиж ной

системе

O'x'y',

свя занной

ку л исой

(относител ьноедвиж ение).

Абсол ю тны м

движ ением

камня

я вл я ется

его

движ ение

п о

окру ж ности с центром в точ кеО ,

и,

сл едовател ьно,

абсол ю тная

скорость

нап равл ена

п ерп ендикул я рноккривошип у О А

иравна п овел ич инеω 0r.

э то

О тносител ьное движ ение –

скол ьж ение камня

п о

п рорези

ку л исы , п оэ тому

относител ьная

скоростьν

r точ киА нап равл ена п окул исе.

П ереносны м

движ ением

камня

А в

данны й моментя вл я ется движ ениетой

точ ки ку л исы ,

с которой в э тотмомент

совп адает камень.

Т ак

как

ку л иса

движ ется п осту п ател ьно, то п ереносная

e п арал л ел ьна С С .

скоростьν

П отеоремесл ож ения (9.1) имеем

=ν

+νae .

И зп арал л ел ограмма скоростей (рис. 18.б) найдём

νr

νa

νe

−ϕ)

sin(ϕ −

отку да

sin(2

sin

a cos

2νω0r

2ω0r

3ϕ

νr =

cosϕ ;

νe =

sin(ϕ −

Т аккак

ϕ =ω0t,

то

2ω0r

νr =

ω0t;

cosνe =

sin(ω0t −

			35		π
В	моменты	времени,	когда	ϕ =	π	+ nπ,	имеем	νe =0,	и,
					6

сл едовател ьно, в э тимоменты ку л иса изменя етнап равл ениесвоегодвиж ения .

Ускор ен и еточки в слож н ом дви ж ен и и .

Ускорениеточ кив сл ож ном движ енииоп редел я ю тп оф орму л е

=+
	wc,+wae wr		(9.2)

гдеwa - у скорениеточ киотносител ьноу сл овнонеп одвиж ной системы отсч ёта (абсол ю тноеускорение);

- у скорениеточ киотносител ьноп одвиж ной системы

отсч ёта

(относител ьноеу скорение);

- у скорениетой точ кип одвиж ной системы

отсч ёта, ч ерезкотору ю в

данны й моментп роходитрассматриваемая точ ка

(п ереносноеу скорение);

- п оворотноеу скорениеил иускорениеКориол иса, вы раж аю щ ееся

ф ормул ой

r ), e

×c ν

(9.3)

здесь

- мгновенная у гл овая скоростьп одвиж ной системы

отсч ёта;

- относител ьная скоростьточ ки

Задача 15. (рис. 19). Д ана скоростьцентра диска ν o . С вя зав п одвиж ну ю систему отсч ёта с диском, найти в заф иксированны й на рису нке момент у скорения Кориол иса точ ки М и скорость п ол зу на В . Решениеосу щ ествить расч ётно-граф ич еским п у тём, снимая с ч ертеж а всенеобходимы еразмеры .

Р еш ение. В ы бираем масштаб дл ин и скоростей. Рассматриваем движ ениеточ ки М как сл ож ное: относител ьноеп о отношению к диску и п ереносноевместес ним. Т огда


	ν	=ν +ν eMM.	rM
В ектор ν	rM нап равл ен вдол ь нап равл я ю щ ей DE. В ектор ν eM нап равл ен
п ерп ендику л я рно к отрезку М Р1		в сторону вращ ения диска (Р1 – мгновенны й
центрскоростей диска). М оду л ьэ тоговектора

ν	eM	ω PM	ν0	× PM = = ×
ν		ω PM	OP	× PM = = ×
		1	OP	1
			1

найдём, измерив всерасстоя ния ивосп ол ьзовавшисьмасштабом. Т аккакточ ка

М п ринадл еж ит шату ну М В ,

которого мгновенны й центр

скоростей

находится в точ кеР2, тоабсол ю тная скоростьточ киМ

дол ж на бы тьнап равл ена

п ерп ендику л я рноотрезку М Р2.

Зная

и нап равл ения

векторов

п остроить

ν rM и

ν M , мож но

п арал л ел ограмм

скоростей, из

которого,

п ол ьзуя сь масштабом,

находим

вел ич ины

νrM иν M .

Д л я нахож дения у скорения Кориол иса точ киМ

восп ол ьзу емся ф ормул ой

w =

w ×cνrM ]. e

Здесь we

- вектор, п ерп ендикул я рны й п л оскости рису нка, нап равл енны й к

ч итател ю ип овел ич инеравны й

ν0

w =

OP2

Т аккак

e ν

rM , то

w = 2wν

В ектор

c расп ол ож ен

п л оскости

рису нка и

нап равл ен

M и расстоя ниеР2М ,

п ерп ендику л я рно к DE. Зная абсол ю тну ю

скорость ν

находим вел ич ину у гл овой скоростишату на М В п оф ормул е

ωMB = MPν M2 .

Теп ерьл егконаходим моду л ьскорости ν B п ол зу на В :

νB = ωMB × BP2.

Задача 16. О кру ж ностьрадиу сом R=1 м вращ ается в вертикал ьной п л оскости

вокру г неп одвиж ной оси О

п ротив хода ч асовой

стрел ки п о закону

ϕ =πt (t

– в секу ндах; ϕ -

радианах), гдеϕ -

у гол , составл я емы й диаметром

окру ж ностиО А с горизонтал ьной п ря мой (рис. 20,

а).

П о окру ж ности източ ки О

движ ется точ ка М п о

ходу ч асовой стрел кисогл асноу равнению s=πt (t –

в секу ндах; s – в метрах).

О п редел ить

абсол ю тное

у скорение точ ки

моменты времениt1=

сек и t2=1 сек.

Р еш ение.

Т оч ка М

совершаетсл ож ное

движ ение.

С вя ж ем

п одвиж ну ю

систему

координатс окру ж ностью .

Т огда движ ение

точ ки

п о

окруж ности

бу дет

относител ьны м.

П ереносны м

движ ением точ ки в

данны й

момент

я вл я ется

движ ение той

точ ки

окру ж ности,

ч ерез котору ю

в э тотмомент

п роходитточ ка М .

Н айдём п ол ож ениеточ киМ в у казанны е

у сл овия мизадач имоменты времени:

П риt1=

1 сек

s1= π м ;

П риt2=1 сек

s2= π м.

С л едовател ьно,

моменту t1=

сек

точ ка М

п ройдётч етверть окру ж ности,

а к

моменту t2=1сек – п ол овину окру ж ности от

нач ал ьного п ол ож ения .

Д л я

э тих моментов

времени у гол

п оворота окру ж ности бу дет

равен соответственно 2 и π (рис. 20, б,в). С огл асно(9.2) имеем

e =+

c .+wa

(с)

О п редел им снач ал а относител ьноеускорение

r :

τ +

w r

wrn ,r

гдекасател ьноеу скорение

rτ

= dv

= d 2 S

dt 2

а нормал ьное

wrn = vRr 2 =π 2 м /сек2 ,

таккакотносител ьная скорость

vr = dsdt =π м /сек.

Т аким образом, относител ьноеу скорениев л ю бой моментвремени нап равл енокцентру окру ж ностиип овел ич инеравно

ωr = π 2

м /сек2.

Н айдём п ереносноеу скорениеточ киМ . Т аккакп ереносноедвиж ение

вращ ател ьное, то, сл едовател ьно,

вр

e =

+ wwe ,

здесь

wврe =εе ×ОМ ;

wц e =ω2e ×OM,

ωe и εe -

гдеО М – расстоя ниеотточ киМ доосивращ ения окру ж ности;

у гл овая скоростьиу гл овоеу скорениевращ аю щ ейся окру ж ности.

И меем

м;

t=t2

= 2м.

t=t1

У гл овая скоростьωe

иу гл овоеу скорениеεe соответственноравны :

рад

εe =ϕ = 0,

ωπ

ϕ = const= ; =

сек

таким образом,

ц e

ω2e =×OM. = w w

= π 2

м сек2

, 2

= π 2 м сек22.

В моментt1= 2 сек

в моментt2=1сек

е 2

у скорениеwе1 и wе2 нап равл ены косиО .

Найдём теп ерьу скорениеКориол иса п о(9.3). В ектору гл овой скорости ωе

перп ендику л я рен кп л оскостирису нка инап равл ен кч итател ю . О тносител ьная

скорость v r нап равл ена п о касател ьной к окру ж ности в сторону движ ения

е и

r в л ю бой

ч асовой стрел ки.

С л едовател ьно,

у гол

меж ду

векторами

моментдвиж ения

равен

. П оэ тому

в обоих сл у ч ая х вел ич ина у скорения

Кориол иса

2ω v sinwπ =wπ 2 м =сек22.=

e c 2

Н ап равл ения вектора

с в моменты времениt1 и t2 п оказаны

на рисунках.

Д л я оп редел ения wa п рименим методп роекций. П роектиру я п раву ю и л еву ю ч астивекторногоравенства (с) на вы бранны еосикоординат, п ол у ч им

дл я t=t1

w	w	2	−π=2	. = −
		2
О тсю да видно, ч то	e1		ay

					w		= π 2	м / сек2
					w		= π 2	м / сек2
					a	t=t
						1
ивектор		a
ивектор	w	a	t=t1	нап равл енвниз.
			t=t1
П риt=t2 всевекторы у скорений нап равл ены									п оодной п ря мой,
сл едовател ьно,				a t=t2		wrc2w we2		w	=π м−πсек .+π	/=	2=−
									2	2	2
									2	2	2

В ектор wa t=t2 нап равл енвп раво.

=+ −

2+2

§9. К он тр ольн ы евопр осы для самопр овер ки остаточн ы хзн ан и й.

1.	Какиесп особы	оп исания движ ения точ кивы			знаете.
2.	Д айте оп редел ение		вектора скорости		точ ки, ал гебраич еской
	скорости.
3.	Каксвя заны векторскоростииал гебраич еская скоростьточ ки.
4.	Н ап ишите ф орму л у		разл ож ения вектора у скорения			п о ося м
	естественноготрёхгранника.
5.	Какиеп ростейшиевиды		движ ения твёрдоготел а вы знаете.
6.	Н ап ишитеф орму л ы Э йл ера дл я скоростииу скорения п ривращ ёнии
	тел а вокру г неп одвиж ной оси.
7.	Комбинацией,	каких		п ростейших	движ ений	я вл я ется

п л оскоп арал л ел ьноедвиж ениетвёрдоготел а.

8.Чтотакоемгновенны й центрскоростей (М .Ц .С .)

9.С ф орму л иру йтесп особнахож дения М .Ц .С .

10.Н ап ишите ф ормул у дл я п оиска скорости точ ки, п ринадл еж ащ ей тел у , совершаю щ ему п л оскоп арал л ел ьноедвиж ение.

11.Чтотакоемгновенны й центру скорение.

12.С ф орму л иру йтесп особнахож дения мгновенногоцентра у скорения . 13.Н ап ишитеф орму л у дл я п оиска мгновенногоцентра у скорения точ ки,

п ринадл еж ащ ей тел у , совершаю щ ему п л оско п арал л ел ьное движ ение.

14.Чтотакоесл ож ноедвиж ениеточ ки.

15.Д айтеоп редел ениеабсол ю тного, п ереносного, относител ьного движ ений.

16.Д айтеоп редел ениеабсол ю тной, п ереносной, относител ьной скорости.

17.Зап ишитетеорему осл ож ениискорости.

18.Д айтеоп редел ениеабсол ю тного, п ереносного, относител ьногои кориол исова у скорений.

19.Зап ишитетеорему осл ож енииу скорений.

20.Когда wкор = 0.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теоретическая механика