Добавил:

Ecolog Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет инженерной экологии

Предмет:

Теоретическая механика

Файл:

Решение задач по теоретической механике. Часть 2. Кинематика. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.05.2014

Размер:

975.92 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

которой нап равл ено у скорение

В ,

Е сл и

п ря мая ,

п о

не

п ерп ендику л я рна к А В

, то

А и ω могу тбы ть заданы п роизвол ьно.

Е сл и

А В

то задач а мож етиметь решениел ишь тол ько в том сл у ч ае,

когда

у гол

меж ду

А и А В

нету п ой и п ри нал ич ии оп редел енной зависимости

меж ду

и w . Д л я решения задач и тип а II сл еду етвекторноеравенство(7.1)

сп роектироватьна ось, п ерп ендику л я рну ю к w . В п равой ч астиэ тогоравенства два п ервы х вектора ( w А и wцВ А ) известны и п о вел ич ине, и п о нап равл ению . В ектор wвВрА п ерп ендику л я рен к А В , нонап равл ениеэ тоговектора неизвестно.

О но обы ч но				у казы вается	п редп ол ож ител ьно.	П ри	п роектировании (7.1)
п ол у ч им,	таким образом,				одно скал я рноеу равнение,		из которого находится
вел ич ина			врВ А .	Е сл и э та	вел ич ина окаж ется	отрицател ьной, то э то бу дет
		w

у казы ватьна то, ч топ редп ол агаемоенап равл ениевектора wврВ А п ротивоп ол ож но действител ьному . Зная wврВ А , находим ε , а п роектированием (7.1) на п ря му ю , п о которой нап равл ен вектор wВ , находим вел ич ину и нап равл ение(п о знаку п роекции) вектора wВ . Зная wА , ω и ε , мож ноп о(7.1) оп редел итьу скорение л ю бой точ ки С . П риэ том сл еду етиметьв виду , ч товектор wврСА ориентирован п оотношению к A такж е, каки wврВ А .

Задача 10. Кол енч аты й вал (рис. 8а) вращ ается с у гл овой скоростью ω0 и

у гл овы м у скорением ε 0 . О п редел итьу скорениеп оршня B иу гл овоеу скорение шату на AB п ри крайнем верхнем и крайнем п равом п ол ож ения х моты л я OA , есл идл ина моты л я r ,а дл ина шату на l .

Р еш

ение.

В еду щ им звеном механизма я вл я ется моты л ь ОА . Д виж ениеего задано. О п редел им скорость, иу скорениеточ киА . И меем

цA +

вAр , wгде

цA = ω02r ,

врA

= ε0r

ϑA = ω0r

A =

Н ап равл ения

э тих векторов дл я

п ервого п ол ож ения

механизма у казаны на

рис. 8б.

А , так как ее

Рассмотрим движ ениешату на А В . За п ол ю с п римем точ ку

скоростьиу скорениеизвестны . П о(7.1) имеем

вр

+ w

= w

+=w(f) + w

BAB

BA + wBA + w

п рич ем п о(7.2) и(7.3)

= ω l× ;

==wε l ×

где

вр

- у гл овая скоростьиу гл овоеу скорениешату на AB .

цBA

нап равл ен от точ ки В

вектор

вBAр

В ектор

к п ол ю су

А ,

п ерп ендику л я рно А В .

Н ап равим его п редп ол ож ител ьно так,

как п оказано на

рис. 8б Т ак как мгновенны й центр скоростей шатуна в

рассматриваемом

п ол ож ениимеханизма находится в точ кеВ , то

ω =

υA

ω0r

(g)

Ф орму л а (g) оп редел я ету гл ову ю

скоростьшату на тол ько в данны й момент

времени, соответству ю щ ий рассматриваемому п ол ож ению

механизма, п оэ тому

ε немож етбы тьп ол у ч енодиф ф еренцированием п овремени ω,

найденногоиз

(g).

Д л я

оп редел ения

е восп ол ьзу емся

тем,

ч то л иния

действия

искомого

у скорения точ ки B известна:

B нап равл еноп оп ря мой OB .

П оэ тому , п роектиру я векторноеравенство ( f ) на ось Bx ,

B , п ол у ч им

п ерп ендику л я рну ю нап равл ению

вр

+ w= - =w

вр

О тсю да

wBAвр = ε0r

и, сл едовател ьно,

ε= εl0 r

Таккак wBAвр > 0 , топ редп ол ож ениеонап равл енииэ тоговектора верно.

П роектиру я равенство ( f ) на ось By , найдем п роекцию у скорения точ ки

В на э ту ось	цA	wwBAц By	wω02 +	r	) =(=1 +

				l

Т ак как wBy > 0 , то вектор wB нап равл ен в сторону п ол ож ител ьного нап равл ения оси By .

В ел ич ина у скорения точ ки B в п ервом п ол ож ениимеханизма будет

= ω02

)

Рассмотрим теп ерькрайнееп равоеп ол ож ениемоты л я (рис. 8в). О братимся

снова к равенству

( f ) . Т ак как п ерп ендику л я ры

к скоростя м точ ек A и В

п арал л ел ьны ,

то

у гл овая

скорость ω

ш ату на

равна ну л ю и,

сл едовател ьно,

wBAц = 0.

У скорение

врBA = 0 ,

п ерп ендику л я рное AB ,

п редп ол ож ител ьно нап равим

так, как п оказанона рису нке. П роектиру я

( f ) на ось Bx , пол у ч им

0 wц −=wвр

=cosw α

отсю да

ω02 r

ε =

l cosα

l 2 − r 2

Т ак как wBAвр > 0 , топ редп ол ож ениеонап равл ении

врBA верно. П роектиру я

( f ) на осьBy, имеем

вр

2r2

BABy sinα

ε0r −

=w −w

ω02 r

− r2

Е сл и

ε 0 >

, то wBy > 0

, тоестьв э том сл у ч аеwB

нап равл еновниз.

l 2

− r 2

В ел ич ина у скорения

бу дет

ω02 r

wB = r(ε 0

−

)

l 2

− r 2

В рассматриваемы й момент п оршень

движ ется

у скоренно вниз,

B совп адаю тп онап равл ению .

так как

ω02 r

Е сл и

ε 0

то wB

нап равл еновверхип овел ич инебу детравно

l 2

− r 2

wB = r(

ω02r

− ε0 )

В э том сл у ч аеп оршеньдвиж ется вниззамедл енно, так

l2 − r2

как wB и υ B имею тп ротивоп ол ож ны енап равл ения .


Задачи	ти па III. В н ек о т о р ы й		24
Задачи	ти па III. В н ек о т о р ы й		м о м	ен т	вр ем ен и		извест н ы
вел ичин ы	и н апр авл ен ия уск о р ен ий		двух	т о чек	А и В	пл о ск о й фигур ы .
Опр едел ит	ь в эт о т	м о м ен т м гн о вен н ую		угл о вую	ск о р о ст	ь	ω , м гн о вен н о е
угл о во е уск о р ен ие ε		и уск о р ен ие л ю бо й т о чк и С.

Задач и э того тип а разрешимы тол ько в том сл у ч ае, когда у гол меж ду

векторами BA и разностью wB − wA нея вл я ется ту п ы м. Решениезадач и осу щ ествл я ю тп у тем п роектирования (7.10) на двевзаимноп ерп ендику л я рны е

оси (л у ч ш евсего на ось, нап равл енну ю п о AB , и на ось,							п ерп ендику л я рну ю
AB ). И зп ол уч енны хп ри п роектировании дву х скал я рны х у равнений находя т
неизвестны евел ич ины		wвр	wц				ε	и	ω	. П риэ том
		BA и	BA , изкоторы хоп редел я ю т
вел ич ина	wц										wвр
	BA мож етбы тьтол ько п ол ож ител ьной, в то время как знак										BA
				вектора		вBAр
зависитотп редп ол ож ител ьного нап равл ения					w		, так как известна
л иш ьп ря мая , п окоторой нап равл ен э тотвектор.
Задача 11. П ол зу ны		А и В ,	соединенны естерж нем дл иной,					движ у тся вдол ь
нап равл я ю щ их, которы е образу ю т меж ду				собой у гол			60°		(рис. 9, а).
О п редел итьу скорениесередины C стерж ня в момент, когда										= OB , есл иOA
известно,	ч тов э тотмоменту скорения точ ек А иВ имею твел ич ины
		wA = 3w , wB = w

ип оказанны ена рис. нап равл ения .

Р еш ение.

У сл овия

разрешимости задач и

вы п ол нены .

Д л я оп редел ения

у скорения

точ киC п оф орму л е

CACц +

CAвр+w

(h)

необходимо знать у гл ову ю

скорость ω

у гл овоеу скорениеε стерж ня .

Э ти вел ич ины найдём из соотношения

меж ду у скорения миточ екA иB:

BABц +

где

=wBAвр+,w

(i)

wврBA = ε × AB ,

wц BA =ω2 × AB,

вр

п рич ём

BAц

нап равл еноотВ к А, а

В А

п ерп ендику л я рно к BA и п редп ол ож ител ьно нап равл ено так, как п оказано на

рис. 9,а.

П роектиру я (i) на вы бранны еосиBx иBy, п ол у ч им два скал я рны хуравнения

+w−wcosBA

− =w 60

cos

вр

= − w 30 cos

+wwcos

О тсю да

wц

BA =

wA − wB

=ω

;

вр = wB + wA

= ω

, 33 2

В А

wврBA

2ω

wBAц

ε =

сл едовател ьно,

ω =

;

Т ак какε > 0, то

В А

вр нап равл енов действител ьноститак, каку казанона

рису нке. Заметим, ч товектор

В А

вр

«стремится » вращ атьф игу ру вокру г

п ол ю са А п одвиж ению ч асовой стрел ки.

ω;× w âð

w ц

ω2 AC=

ε AC==ω

О братимся кф орму л е(h). И меем

×3.

CAц

нап равл ен отС кА , а вектор

CAвр нап равл ен

В ектор

п ерп ендику л я рнокАС так, ч тобы

он, какивектор

BAвр , «стремил ся » вращ ать

ф игу ру вокру г п ол ю са А п одвиж ению ч асовой стрел ки(рис. 9,б).

Д л я нахож дения wC п роектиру ем равенство(h) на осиBx иBy.

И меем

w-ω=; w +

60= -

cos

вр

= −

30Cy

wcosCAw − =

w . +

w =ω

В ел ич ина у скорения

равна

Задачи

ти па IV.

В н ек о т

о р ы й м о м ен т

вр ем

ен и

извест

н ы м

гн о вен н ая

угл о вая

ск о р о ст

ь пл о ск о й фигур ы

вел ичин а

и н апр авл ен ие

уск о р ен ия

к ак о й-л ибо

её т

о чк и А.

Нек о т о р ая т

о чк а

В эт

о й

фигур ы

о дн о вр ем ен н о

пр ин адл еж ит

и др уго й фигур е II, движ ущейся в т о й ж е пл о ск о ст и. Пр и

эт о м

уск о р ен ие т

о чк и

и м гн о вен н ая

угл о вая

ск о р о ст ь

фигур ы II

извест

н ы

(в

част

н о ст

и,

о чк а

О м о ж ет

бы т ь и

н епо движ н о й).

Опр едел ит

ь угл о во е уск о р ен ие фигур ы I и уск о р ен ие т

о чк и В.

Д л я

решения

задач и данного тип а сл еду етсогл асно (7.10) нап исать

вы раж ениедл я у скорения точ ки B как точ ки, п ринадл еж ащ ей каж дой п л оской

ф игу рев отдел ьности:

вр

В А

+=w В А +;ïw w

вр

(j)

В О

+ w= В О+. w w

П риравнивая п равы еч астиэ тихравенств, п ол у ч им векторное

A ,

O ,

инап равл ения векторов

у равнение, в котором известны

вел ич ины

BA и

BO (таккакизвестны

у гл овы ескоростиотдел ьны хф игу р).

Н еизвестны мия вл я ю тся вел ич ины

wвр BA и wвр BO , п ря мы еж еп окоторы м

нап равл ены

векторы

вр

BA и

вр

, известны . П роектиру я п ол у ч енное

векторноеу равнениена вы бранны еоси, будем иметьдва скал я рны ху равнения ,

	26
изкоторы хнайдём искомы е	вел ич ины , а затем ε1 иε2. Д л я

оп редел ения wB восп ол ьзу емся одной изф орму л (j).

Задача 12. (рис. 10). Четы рёхзвенникрасп ол ож ен в данны й моменттак, ч то звено О А занимает верхнее вертикал ьное п ол ож ение, а точ ки О , В , О 1

находя тся		на одной горизонтал и.			О п редел ить в э том			п ол ож ении у скорение
точ ки B,	есл и у гл овая			скорость звена О А равна ω0 ,				его у гл овоеу скорение
ε0 = ω 2 0				=2r; O1B= 2r			.
		3	; О А=r; АВ			3

Р еш ение.

Т ак как точ ка B п ринадл еж итшату ну

АВ

и звену

O1B, то её

у скорениемож етбы тьнайденодвоя ким образом:

вр ü

BA +=w

В А +w w

(k)

вр

П риэ том

BO1

ww 1. wþ

вр

(l)

В э тихф орму л ах

+ ww А . w

wц А =rω 2;

wврА

= rε

;

wвр BA = 2rε ;

ц BA ω2

w=2rω× 2; AB

wц BO1 =

(m)

BO1

где ω и ε –

соответственно мгновенная

у гл овая

скорость и мгновенное

у гл овоеу скорениешатуна.

вр В О1 -

вр BA

У скорение

нап равл ено

п ерп ендику л я рно

АВ ,

п ерп ендику л я рно В О 1.

П редп ол ож им, ч то э ти векторы

нап равл ены так как

у казанона рисунке.

27
Т ак как мгновенны й центр	скоростей шату на АВ находится в
точ кеО , томгновенну ю скоростьω шату	на АВ оп редел им п оф орму л е

Зная ω , найдём скоростьточ киВ :

ν B

ω= νOAA =ω0.

ω==ω0r×3, OB

а такж е

wц BA = 2rω20 ; wц BO1

rω2

И з(к) и(l) имеем

врBO1

ц BO1

ц А

вр А

ц В А +

врВ А +. w ++ w =w

(n)w

В э том векторном равенственеизвестны вел ич ины оп редел им издву х скал я рны ху равнений, п ол уч аемы осиBx, By. И меем

wвр В О и wвр В А , которы е

хп роектированием (n) на

ц BO1

врА

ц В А

0 + wврВ А

600w− wcos= − w

cos

вр

BO1

вр

+w BA

w−+, w30− =wcos

отсю да

вр

wвр BO = −

rω20.

rω

BA =

0 ;

Знак«мину с п оказы вает», ч товектор wвр BO1

в действител ьностинап равл ен

в сторону , п ротивоп ол ож ну ю у казанной на рису нке.

Зная

вр В О1 , найдём вел ич ину у скорения точ киВ :

BO1

= rω20

Задача

13.

Кривошип но-шату нны й

механизм

совершает

п л оскоп арал л ел ьноедвиж ениев п л оскости XOY. Закон вращ ения

кривошип а

OA известен

ϕ(t) = ω ×t ,

где

ω = const

у гл овая

скорость

вращ ения .

= a ,

точABка M

- середина шату на.

Найти:

1.Закондвиж ения точ ки M .

2.Т раекторию точ ки M

3.Закондвиж ения п ол зу на B

4.С коростьиу скорениеточ ки

5. С коростьточ ки M дл я
ч еты рёхп ол ож ений механизма
	π			3π
п ри: ϕ = 0 ,	ϕ = 2 ,	ϕ = π ,	ϕ =		.
				2

6. У гл ову ю скоростьиу гл овоеу скорениезвена AB дл я у казанны хп ол ож ений

7. У скорениеточ ки M дл я

ϕ = 0 , ϕ = π2 , ϕ = π , ϕ = 32π .

Реш ение.

1.И зобразим п роизвол ьное п ол ож ениемеханизма, оп редел я емоеу гл ом ϕ .

О ч евидно, ч тов каж ды й момент временивы п ол неносл еду ю щ ее векторноеравенство:

(8.1)

Зап ишем (8.1) в п роекция хна координатны еоси, п ол у ч им:

Ox:

x = a cosϕ +

cosϕ

Oy:

y = a sinϕ −

sinϕ

( ) =

ωt)

acos(x t

(8.2)

( ) =

ωt)

asin( y t

Ф ормул а (8.2) п редставл я ю тсобой зап исьдвиж ения точ ки M .
2. Чтобы	найтиточ ку M необходимоискл ю ч итьвремя изф орму л (8.2)
	ì	2x	=	wt)	cos(

	ï	3a
И сходя из	í				п осл е возведём в квадрат и сл ож ения п ол у ч им
	ï	2y	=	wt)
	ï				sin(
	î a

								x2				y2
у равнениеэ л л ип са										+				= 1	(8.3)
										+				= 1
						(		3	a)2		(	1	a)2
								3				1
								2
	3					1		2			2
С п ол у ося ми	3		a и			1	a , таккак	0 ≤ t			≤ ∞ тоточ ка M бу детдвигаться п о
С п ол у ося ми			a и			2	a , таккак	0 ≤ t			≤ ∞ тоточ ка M бу детдвигаться п о
2						2
у казанному э л л ип су п ротив ч асовой стрел ки нач ав движ ение из точ ки с
координатами		(		3	a	);0
		(		2	a	);0
				2		. Т раекторией я вл я ется весьэ л л ип с.
3. Т ак как п ол зу н B движ ется п онап равл я ю щ им вдол ьоси Ox, то y t = 0 .( )

Чтобы

найти координату

x п ол зу на необходимо сп роектировать на ось Ox,

сл еду ю щ ее векторноеравенство

П олOAу ч им, ч OBто дл я л ю бого

ωt)

acos(x

t x 2 ( )

. С л едовател ьно, закондвиж ения точ ки

		ωt)	29
ì	=		acos(x t 2 ( )
í	=	0 ( )	(8.4).
îy t
П ол зу н B совершаетгармонич ескиекол ебания окол оточ ки O .
4. Чтобы		найти скорость точ ки B необходимо п родиф ф еренцировать п о
времениф орму л у (8.4), п ол у ч им

ì	X	& = - υ=	ωt) x2 ω sin(a
í		&
îυY		= y = a


2	2== a + ωt) 2 ω sin( υυ υ
x	y

В екторскоростивсегда нап равл енвдол ьOx.

Чтобы найтиу скорениеточ ки B необходимодваж ды п родиф ф еренцироватьп о времениф орму л у (8.4) п ол у ч им

ì		&&	= - = ω		2	ωt)2	cos(aw	x
ï	x		= - = ω			ωt)2	cos(aw	x
í		&&	= 0
ïw	y	= x	= 0
î	y
						ωt) 2
		2	2	== ω+		ωt) 2	cos(a	ww w
		x	y

В ектору скорения всегданап равл енвдол ьOx, ивсегда кточ кеO.

5. И скать скорость и у скорение точ ки M мож но анал огич но 4., но рассмотрим дру гой сп особ, оп редел ив заоднои ωAB дл я у казанны хп ол ож ений.

П ри ϕ = 0 механизм бу детрасп ол ож енвдол ьосиOx (см. рис. 13)

Н айдём внач ал ескорость точ ки A , дл я у казанного п ол ож ения исходя

из

того, ч то точ ка A п ринадл еж иткривошип у

OA,

которы й вращ ается вокру г

точ ки O с п остоя нной

у гл овой скоростью

ω .

В ел ич ина скорости равна

= ω ×

= ω × a

, а нап равл ениеп оказанона рис. 13 (п ерп ендику л я рно

ω a=×

сторону вращ ения кривошип а), сл едовател ьно,

. Т еп ерьрассмотрим

п л оскоп арал л ел ьноедвиж ениешату на AB . Д л я э тогозвена мы знаем скорость одной точ ки A (υa ) и л инию , на которой л еж итскоростьдру гой точ ки B - э то

осьOx.

Н айдём мгновенны й центр скоростей дл я данного п ол ож ения механизма. Д л я

э тоговосстановим п ерп ендику л я ры			в точ ках A и B л иния м, на которы хл еж ат
скорости				υa	и
		.
	υb

B .

П ерп ендикул я ры

п ересекаю тся в точ ке

С л едовател ьно, э то иестьп ол ож ениемгновенногоцентра скоростей (М Ц С ).

Знач ит, дл я рассматриваемого сл у ч ая

скорости звена таковы

как бу дто шату н

AB вращ ается

с некоторой

у гл овой скоростью

ωAB

вокру г точ ки

(как

ωAB ,

неп одвиж ной

оси).

Н айдём

так

как

известно,

то

w = ω

×OA Þ

ω ×a

= ω

. П ол у ч им, ч тошату н вращ ается с той ж е

у гл овой скоростью ,

ч то и кривошип ,

но в обратну ю

сторону . С коростьточ ки

M оп редел им из равенства

w ω

BM ω

w×a

раз

Д ействител ьно,

точ ка M в два раза бл иж еи М Ц С (точ ки B ) то и скоростьу неё в два раза

меньше. Н ап равл ение

п оказанона рис 14.

Чтобы

оп редел ить у скорение точ ки

M ,

необходимо знать сл еду ю щ ие

вел ич ины : у скорениеп ол ю са (

), так как за п ол ю с у добно вы братьименно

точ ку

A , у гл ову ю скоростьзвена AB (ωAB ) и у гл овоеу скорение(ε AB ), п осл е

ч его

восп ол ьзоваться

ф орму л ой

вр

A M+M

w=цM AA) +( ww (8.3)w,

где

вMр ( A) = ε AB × AM -

вращ ател ьноеу скорениеточ ки M вокру г п ол ю са A ,

нап равл енноп ерп ендику л я рно AM .

цM ( A) = ωAB2

× AM -

центростремител ьноеу скорениеточ ки M п ри вращ ении

вокру г п ол ю са A .

О п редел им

как

у скорение точ ки

тел а

вращ аю щ егося

вокру г

неп одвиж ной оси O .

вAр +

цA :

A =

wwАвр = ε А О А О

ω2

ω2 ×wa

× OA

×i :×

- w=

, таккаквращ ениекривошип а

равномерноенап равл енокточ кеO .

Чтобы

оп редел итьε AB , необходимозап исатьф орму л у (8.3) дл я точ ки B - (дл я

неё нам

известна л иния ,

на которой л еж иту скорение– ось Ox). А затем

вр A BB+

цB AA)

+( w

п ол у ч енну ю ф орму л у

( )

- зап исатьв п роекциина осьOy.

П ол у ч им = + ε AB × AB + 0 Þ ε AB =0 0 0Þ

вMр ( A) = 0

цM ( A)

ωAB MA== ω

a×

цM ( A)

= -

вр

Т аким образом,

(2 )

i (ω2 +wω ) -iωa=ww w- × ×

A MM

M AA)

(

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теоретическая механика