Вопрос 12. Прогнозирование сезонных и циклических составляющих временных рядов, задача их построения.

В практике управления весьма важна задача идентификации и выделения сезонных составляющих динамических рядов. Данная процедура обеспечивает возможность корректного анализа, сопоставления рядов показателей, последующего моделирования их динамики. Кроме того, сезонность может сильно смещать оценку трендовой составляющей, полученную по методу МНК. В России большая часть экономических показателей, представленных в форме динамических рядов, включает компоненту сезонности .

Вообще, временной ряд в рамках декомпозиционного подхода имеет вид:

, где – тренд; – цикличность; – сезонность; – случайная составляющая.

Сезонность – это систематически повторяющаяся тенденция во временном ряду в рамках годичного цикла. Присутствие данной компоненты во временном ряду обусловлено социально-экономическими факторами, связанными с природными факторами.

Цикличность – повторяющиеся волнообразные изменения показателей, имеющих долгосрочный (более года) характер. Присутствие данной компоненты во временном ряду обусловлено взаимодействием всех факторов, определяющих фазы экономического цикла (НТР, массовое обновление ОПФ, войны, кризисы и т.п.).

Циклическая составляющая имеет внешне похожую с сезонной компонентой форму проявления, поэтому многие методы, пригодные для описания и моделирования сезонной составляющей, пригодны и для моделирования циклической компоненты. Рассмотрим основные методы.

1. Методы сезонной корректировки.

Записанная выше модель вр. ряда может быть представлена в аддитивной или мультипликативной форме, т.е.

Общая процедура выделения сезонных составляющих индексным методом:

1. предварительная оценка трендовой компоненты ;

2. выделение сезонной и случайной компонент ряда, т.е.

– в случае аддитивного представления модели,

– в случае мультипликативного представления;

3. оценка сезонной составляющей ряда ;

4. очищение ряда от сезонной составляющей (Y-S) или (Y/S);

5. по очищенным значениям строим аналитическую модель тренда , получаем конкретные значения ;

6. выделение ряда случайных составляющих:

2. Использование фиктивных переменных.

Данный метод представляет собой частный случай построения моделей переменной структуры в рамках методов оценивания множественной регрессии. Модель, которую следует оценивать, имеет следующий вид:

где – параметры трендовой составляющей; – вектор параметров модели, стоящих при переменных-манекенах; – случайная компонента; – матрица экзогенных переменных-манекенов, где каждый столбец несет информацию о проявлении свойства сезонности в соответствующем периоде (значение 1 или 0) всего периода наблюдений .

Параметры модели оцениваем с помощью МНК. Если параметры значимы, то это говорит о том, что во временном ряду присутствует компонента сезонности, которую как раз мы и смоделировали в общей модели. Величина интервального прогноза рассчитывается также, как и в случае моделирования ФРМ.

3. Методы спектрального анализа.

В основе теории спектрального анализа лежат ряды Фурье. Цель спектрального анализа – разложение дисперсии ряда по частотам для определения существенных гармонических составляющих стационарного процесса.

Для начала следует определить период сезонности m. Это можно сделать, анализируя спектральную функции при разных частотах. Спектр – это функция распределения амплитуд процесса по соответствующим частотам. Значения спектральной функции оцениваются по формуле:

где – частоты, для которых оцениваются спектры, при этом:

По максимальной оценке значения функции спектра определяют ее существенные частоты. Отсюда можно легко найти значения периода сезонности m = 1/λ.

Общая процедура спектрального анализа ВР включает шаги:

1. Обнаружение и идентификация тренда T.

2. Очистка ряда от трендовой составляющей (Y-T). На выходе имеем значения C_t = Y-T.

3. Идентификация сезонной составляющей в ряду. Строим регрессионную модель Ct = f(t) =

Оцениваем ее параметры с помощью МНК. На выходе имеем m значений .

4. Точечный прогноз можно построить, как комбинацию прогноза по трендовой составляющей и сезонной:

Либо переоценить трендовую модель с учетом сезонности: и по ней построить интервальный прогноз, предварительно проверив остатки на соответствие белому шуму.