Понятие ar(p)- процесса.
В общем случае, модель авторегрессии p-го порядка или AR(p)-модель имеет вид
С помощью оператора сдвига модель AR(p) процесса можно записать следующим образом
AR(p)-процесс
является стационарным в широком смысле
тогда и только тогда, когда обратные
величины всех единичных корней
характеристического полинома от
оператора сдвига
лежат внутри единичного круга.
Необходимое
условие стационарности в широком смысле
- это
Если условие выполняется, то процесс может быть стационарным или нестационарным. Но если это условие не выполняется, то процесс не может быть стационарным.
ACF процесс AR(p) экспоненциально убывает по мере удаления членов последовательности друг от друга во времени. PACF процесс AR(p) резко обрывается на сдвиге p по той же причине, что и PACF AR(1) модели при сдвиге на единицу.
Для выбора порядка авторегрессии можно использовать выборочную PACF. Как известно, теоретическая PACF процесса AR(p) обрывается на лаге p. Таким образом, p следует выбрать равным порядку, при котором наблюдается последнее достаточно большое (по модулю) значение выборочной PACF.
Вопрос 3. Специфика моделирования многомерных динамических рядов.
Если одновременно рассматривают динамику p признаков из всего множества m возможных характеристик объекта на фиксированном объекте i, тогда говорят о анализе многомерного временного ряда, т.е.:
В этой связи стоит говорить о специфике самих данных временных рядов, т.е. в отличие от факторной регрессионной модели, где исследуется зависимость между несколькими показателями, то в данном случае данные показатели являются неразрывно связанными с ходом времени, т.е. становится невозможным исключение аномальных явлений, кластеризация и прочее.
Для пояснения сути задачи моделирования многомерных динамических рядов приведем пример: необходимо построить зависимость между величиной ВВП (y) и денежной массой (x), если имеется статистика по данным макроагрегатам за ряд периодов наблюдения. В этом случае предстоит оценить параметры модели:
Специфика моделирования подобных рядов сводится к следующему:
Каждый из временных рядом имеет свою структуру (имеет стохастический тренд или детерминированный). В этой связи желательно провести очистку уровней ряда по крайней мере от сезонных составляющих.
Наличие признаков «ложной» регрессии – высокое значение
,
t-статистики,
F-статистики
и низкое DW-статистики,
т.е. положительная автокорреляция в
остатках. Кроме этого, в случае
множественности независимых переменных
модели возможна их мультиколлинеарность,
что приводит к необходимоти преобразований
исходных данных.При работе с многомерными временными рядами часто необходимо использовать процедуры «фильтрации» трендов. Методы исключения тенденции основаны либо на исключении фактора воздействия времени на уровни ряда, либо на фиксации силы этого влияния.
Отсюда две группы методов для работы с имеющейся информацией:
Преобразование исходных уровней ряда (непосредственное исключение трендовой компоненты). Для этого существует два метода:
Метод последовательных разностей.
Преобразуем
исходные ряды, переходя в приращения
показателей (этим добиваемся их
стационарности, т.е. I(0)).
Далее работаем на переменных
и
или разностях более высоких порядков,
строя регрессию вида
.
Минусами такого типа преобразования данных является сокращение длины временного ряда (т.е. сокращается количество степеней свободы) и потеря информативности.
Метод отклонений от тренда.
Путем
аналитического сглаживания стоится
трендовые модели переменных x
и y
после чего оцениваются значения
и
.
Далее работаем на переменных отклонений
и
,
строя регрессию вида
.
Минусы:
сложная интерпретация,
прогнозирование затрудняется прогнозом зависимой переменной
Непосредственное введение в модель трендовой составляющей.
Включение в модель фактора времени.
В
модель явным образом вводится фактор
времени, т.е. фиксируется влияние времени
на значения моделируемой переменной
и другие факторы модели, например, так:
Плюсы:
Сохранены исходные данные
Однозначно интерпретируются
Минусы:
Не учитывается стохастический тренд