2. Методы усредняющего скользящего сглаживания

Идея методов этой группы заключается в следующем: на выбранном интервале сглаживания m по заданному заранее алгоритму рассчитывается простое среднее или в общем случае взвешенное усредненное значение показателя для интервала сглаживания.

В крайних ситуациях величина интервала сглаживания m может включать как все значения ряда, т. е. т = N, так и единствен­ное значение, т. е. m = 1, если представить ряд константой либо строить прогноз по простой наивной. Будем полагать, что 1 < т << N.

Полученное сглаженное значение относится к заранее оговоренному алгоритмом моменту времени, например, оно может быть приписано:

1. к середине интервала, это предпочтительно для задачи снижения разброса по ряду, выявления основной тенденции его развития.

2. к следующему за сглаживаемым периодом, это предпочтительно при прогнозе значений показателя. После сглаживания с целью прогноза на единичный период преобразованный ряд сократится на m значений.

Значение скользящей средней для момента времени t: , где р=(т-1)/2 при нечетном m.

Здесь значение скользящей средней приписывается середине интервала сглаживания.

Скользящая средняя, относимая к концу интервала, называется адаптивной скользящей средней и определяется по формуле:

Общий вид модели взвешенного сглаживания — , а также расчетной формулы точечного прогноза на один период вперед — для временного ряда соответственно имеют вид:

где -взвешенное значение для t-го уровня ряда, t=p+1, p+2, …, m-p-1, m-p (возможны варианты); - вес i-го значения интервала сглаживания при условии, что , .

В общем случае определение весовых коэффициентов в методах взвешенных скользящих средних проводится исходя из предположения о том, что любая гладкая функция в ограниченном интервале (в нашем случае это т = 2р + 1 значений временного ряда) может быть представлена полиномом степени q, т. е. в виде . Таким образом, значения и структура весов будут зависеть от длины интервала сглаживания и степени аппроксимирующего полинома, использованного на этом интервале. Оценки коэффициентов выбранного полинома подбираются из условия минимизации суммы квадратов отклонений значений полинома от его фактических уровней. Например, при использовании сглажива­ющего полинома второго порядка, т = 5 ( , t = 1, 2, ..., 2р + 1) модель взвешенного скользящего среднего принимает вид .

Формула для построения доверительного интервала: или , где  – среднее квадратическое отклонение скользящих средних от фактических значений для последних m уровней временного ряда.

3. Методы экпоненциального сглаживания

Если актуализация ряда в методах скользящего среднего осуществляется путем постепенного продвижения рассчитанных средних значений с одинаковыми весовыми коэффициентами, то в моделях Брауна влияние на текущее модельное значение предшествующих значений ряда убывает экспоненциально по мере удаления от них. Одна из основных особенностей этих методов заключается в том, что для расчета сглаженного значения уровня t нам необходимо знать предыдущее сглаженное значение и фактическое значение временного ряда .

Простая модель Брауна:

Где - текущее значение экспоненциальной средней в момент t, - текущее значение ряда в момент t, - значение экспонен­циальной средней в момент t — 1, - параметр сглаживания, так называемый сглаживающий фильтр, 0 < < 1. Через него устанавливается баланс между влиянием на значение текущей модельной оценки уровня ряда текущих наблюдений и предшествующих модельных оценок, т. е. настраивается «память» модели.

Вопрос о выборе начального уровня модельного ряда может решаться по-разному. Иногда это средняя арифметическая членов исходного ряда или их части, а чаще всего это просто первое значение исходного ряда. В случае, когда принимает значения, близкие к 1, следует подвергнуть сомнению основания выбора данной модели, так как этот факт может свидетельствовать о наличии в ряду ярко выраженных тенденций или сезонных колебаний. Лучшие значения следует подбирать в диапазоне от 0,9 до 0,95. Стоит отметить, что на величину постоянной сглаживания также может оказывать влияние период упреждения. При увеличении периода прогноза следует учитывать общую тенденцию за прошлые периоды, нежели последние изменения. Простое экспоненциальное сглаживание Брауна предполагает оценивание точечного значения прогноза на один такт времени вперед.

Иинтервальный прогноз, можно оценить следующим образом: , где - стандартная ошибка ряда.