Вопрос 8. Выявление и прогноз динамики временных рядов на основе декомпозиционного подхода.

Классический метод декомпозиции – выделение на статистике временного ряда до четырех типовых (базовых) структурных элементов динамического ряда: тренда , сезонной , циклической и случайной составляющих.

– мультифакторное преставление; – аддитивное представление; – мультипликативное представление

Классификация Пиджелса для определения типа декомпозиционной модели

Тенденция (T)	Сезонность (S)
	Отсутствует	Аддитивная	Мультипликативная
Отсутствует (стационарный )
Аддитивная (линейный тренд)
Мультипликативная (экспоненциальный тренд)

Основные задачи построения прогноза:

1. Предварительное тестирование особенностей структуры ВР. Проверка гипотез об однородности данных, о наличии тенденции в средних значениях ряда, наличие корреляционной связи между уровнями ряда;

2. Построение (оценка параметров) моделей составляющих компонент;

3. Верификация модели, тестирование остатков модели. Проверка качества, проверка остатки – «белый шум»;

4. Получение прогноза на построенной модели ВР

, , , – число степеней свободы

Интервальный прогноз:

– точечный прогноз, полученный на модели ряда

– табличное значение статистики Стьюдента

Методы моделирования в рамках декомпозиционного подхода к моделированию временных рядов могут применяться алгоритмические (см. №1.7) и аналитические методы (см. №1.23)

Вопрос 9. Методика построения и использования arma-моделей.

Авторегрессионные и Ma-модели часто комбинируют с целью получения лучших, более точных приближений к представлению Уолда, конструируя так называемые авторегрессионные модели со скользящим средним в остатках или ARMA (p, q) - модели.

Значение p определяет порядок авторегрессии, а q – порядок скользящего среднего остатков ряда.

ARMA-модели носят более универсальный характер, нежели AR- и MA-модели, полностью сохраняя при этом их свойства и возможности.

Простейший ARMA-процесс – это ARMA (1,1) (не являющийся чистым - или MA-процессом) можно задать с помощью формулы:

где

Запишем с помощью оператора сдвига:

, где | |<1 – условие стационарности процесса (связано с AR-процессом , а | |<1 – условие его обратимости (связано с MA-процессом).

Если условие стационарности выполняется, мы имеем дело с представлением MA в виде , которое является моделью распределенных лагов бесконечного порядка, включающей текущие и прошлые значения случайной составляющей.

Если выполняется условие обратимости процесса, мы имеем дело с авторегрессионным представлением бесконечного порядка вида

.

ARMA(p,q) – процесс – это естественное обобщение случая ARMA (1,1), которое включает множество MA- и AR-лагов. В общем случае записывается данный процесс следующим образом

, где или , где

,

.

Таким образом, стационарные процессы ARMA моделируются в виде аддитивной зависимости лагов уровней самого ряда и его остаточной компоненты (общий стационарный процесс включает и AR-, и MA-процессы).

Необходимое условие стационарности в широком смысле, которое можно использовать в качестве проверки, это (если условие выполняется, то AR-процесс может быть стационарным или не стационарным, но если это условие не выполняется, то процесс не может быть стационарным).

Условия стационарности ARMA (p,q) определяются конями характеристического уравнения . Если корни лежат вне единичного круга, то процесс стационарен.

Для обратимости ARMA (p,q) – процесса необходимо и достаточно, чтобы все кони характеристического уравнения MA (q) процесса лежали бы вне единичного круга. (корни характеристических уравнений можно отобразить на комплексной плоскости (где по оси x отложена действительная часть, а по оси y - мнимая, соответственно те корни, что выйдут за единичную окружность, лежат вне единичного круга).

ARMA-процесс имеет фиксирование безусловное математическое ожидание.

По сравнению с чистыми процессами AR или MA, ни ACF, ни PACF ARMA- процесса не обрывается при каких-либо конкретных сдвигах. Обе функции убывают постепенно, PACF подобно процессу MA (бесконечна, после первых (p-q) задержек затухает или осциллирует, а ACF - процессу AR (бесконечна, после первых (q-p) задержек затухает или осциллирует).

Характеристика	AR(p)	MA(q)	ARMA(p,q)
ACF	Бесконечна (затухает или осциллирует)	Конечна (обрывается после лага q)	Бесконечна (после первых (q-p) задержек затухает или осциллирует)
PACF	Конечна (обрывается после лага p)	Бесконечна (затухает или осциллирует)	Бесконечна (после первых (p-q) задержек затухает или осциллирует)

Представление о поведении ACF и PACF для стационарных процессов полезно на стадии спецификации ARMA-моделей. Параметры ACF и PACF анализируются на значимость. При этом как правило суждение относительно порядка AR-процесса делается на основе значения PACF, а суждения относительно порядка MA- процесса - на основе ACF.

Примеры: ARMA(3;0) – AR-процесс, PACF=3 (обрывается после 3-ого лага). ARMA(0;6) – MA-процесс, ACF=6 (обрывается после 6-ого лага).  ARMA(4;5) - смешанный процесс (4 и 5 - последние лаги (максимальные значения лагов), вышедшие за диапазон PACF и ACF соответственно).

p следует выбирать равным порядку, при котором наблюдается последнее достаточно большое ( по модулю) значение выборочной PACF, а q следует выбирать равным порядку, при котором наблюдается последнее достаточно большое ( по модулю) значение выборочной ACF.

Порядок модели ARMA (p,q) можно выбирать на основе информационных критериев:

,

, где – остаточная дисперсия, рассчитанная по модели.

Порядок (p,q) выбирается посредством перебора из некоторого множества моделей так, чтобы информационный критерий достигал минимума. Критерий Акаике ( ) нацелен на повышение точности прогноза, а байесовский критерий ( ) - на максимизацию вероятности выбора истинного порядка модели.

Можно так же выбирать порядок по тому принципу, что остатки, д.б. похожи на белый шум, для чего использовать проверку остатков на автокорреляцию, если остатки автокореллированны, то следует увеличить p или q.