Раздел 2. Вопрос 1. Модели с условной гетероскедастичностью. Arch, garch-модели.

Часто для моделирования финансовых рынков безусловная дисперсия может быть постоянной, но условная дисперсия ошибок может быть подвержена случайным колебаниям, при этом прогноз этих колебаний имеет важнейшую роль.

Основная идея: Дисперсия ошибки в t-ый момент времени зависит от величины квадрата ошибки в предшествующие периоды времени.

Авторегрессионная условная гетероскедастичность (ARCH — AutoRegressive Conditional Heteroscedasticity) —модель для анализа финансовых временных рядов у которых условная (по прошлым значениям ряда) дисперсия ряда зависит от прошлых значений ряда. Данные модели предназначены для «объяснения» кластеризации волатильности на финансовых рынках. В общем виде для модели ARCH (p) это означает следующее:

Вид модели ARCH (1):

Стоит заметить, что если , то условной гетероскедастичности не присутствует.

В общем виде модель ARCH(p) условной дисперсии записывается следующем образом:

Где p – глубина лага .

Безусловная дисперсия постоянна и равна:

Оценка параметров ARCH(p)-модели может быть произведена при помощи обычного МНК.

Чтобы проверить, имеется ли в модели регрессии условная гетероскедастичность, необходимо с помощью оценивания методом МНК уравнения регрессии получить остатки . Затем выбрать порядок авторегрессии p и оценить на значимость следующее уравнение: . Если гипотеза H₀: отвергается, то принимаем альтернативную гипотезу H₁: , т.е. имеется ARCH(p) модель.

Обобщённый ARCH (Generalized ARCH — GARCH). В этом случае GARCH(p, q) модель. Основана она на предположение, что условная дисперсия зависит также от прошлых значений самой условной дисперсии, т.е. в общем виде записывается следующим образом:

Где p и q – глубина лага, .

Безусловная дисперсия постоянна и равна:

Вопрос 2. Обоснование и использование косвенного метода наименьших квадратов.

Из-за конструктивных особенностей систем одновременных уравнений возникает проблема правильного оценивания их параметров, для примера разберем систему следующего вида (представим ее структурную форму):

– величина денежной массы (эндогенная)

– величина чистых инвестиций (экзогенная)

– величина текущего значения ВВП (эндогенная)

Запишем приведенную форму данной модели, т.е. запишем СОУ так, чтобы каждая эндогенная выражалась только через экзогенные. Для этого подставим в первое уравнение исходной системы второе уравнение, а во второе - первое и получим следующую систему:

Следует отметить, что в данном случае применимость МНК ограничивается тем, что , т.е. нарушается условие отсутствия гетероскедастичности, вследствие чего возникает необходимость иного оценивания параметров исходной системы. Распишем нахождение :

Для устранения подобной проблемы можно воспользоваться правилами обычных подстановочных преобразований и оценивать параметры модели в приведенной форме, после чего станет возможным с помощью решения системы алгебраических уравнений получить оценки α и β, т.е. получается следующая схема исследования, получившая названия Косвенный МНК:

1. Структурная форма исходной СОУ представляется в виде приведенной формы;

2. Полученные коэффициенты при экзогенных переменных в приведенной форме оцениваются при помощи МНК;

3. Решается система алгебраических уравнений относительно исходных коэффициентов структурной формы (в нашем случае α и β);

4. Подставляем полученные коэффициенты в структурную форму, после чего можно использовать модель для прогноза.