4 Вопрос

Правило Крамера

Лемма: Сумма произведений всех элементов некоторого столбца определителя на алгебраические дополнения соответственных элементов другого столбца равна 0.

Доказательство: Рассмотрим определитель n-го порядка

Разложим определитель по j-му столбцу.

Заменим в определителе d по j-ому столбцу столбцом , получим

Так же разложим определитель по j-ому столбцу.

Заменив в определителе d_j столбец b любым из оставшихся столбцов, получим определитель

Заметим, что определитель будет содержать два ( ) одинаковых столбца , поскольку k-ый столбец мы поставили вместо j-ого столбца.

Согласно свойствам определителя, если в определителе содержится два одинаковых столбца, то он равен 0.

Рассмотрим определённую систему линейных уравнений n-ого порядка.

(2)

Пусть набор чисел является решением системы (2). Подставляя величины вместо неизвестных, получим систему тождеств (3).

(3)

Возьмём число j из множества первых n натуральных чисел. Умножим первое тождество на , второе – на , … , n-ое – на , где алгебраические дополнения вычисляются с помощью определителя n-ого порядка, составленного из коэффициентов системы (2).

Сложив полученные тождества, придём к выражению

Коэффициент при является разложением определителя коэффициентов по j-ому столбцу и он равен . Остальные коэффициенты при в левых частях равны сумме произведений элементов некоторого столбца на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца.

С огласно лемме, все эти коэффициенты равны 0. Выражения, стоящие в правой части при доказательстве леммы обозначают . Таким образом получили выражение Покажем что система чисел (4) удовлетворяет системе (2)

Подставим уравнение системы (2) и подставим в него значение (4)

Выражение, стоящее в круглых скобках =0, если (согласно лемме) если то выражение в скобках равно определителю d. Система (4) действительно является решением системы (2). Получаем решение системы называемое правилом Крамера.

5 Вопрос

Основные операции над матрицами

а) Две матрицы А и В называются равными, если они имеют одинаковые размеры и если их элементы, стоящие на одинаковых местах, совпадают.

b) Суммой двух матриц А и В одних и тех же размеров называется матрица С тех же размеров, элементы которой определяются размером:

1. с ) Произведением матрицы А на q называется матрица С элементы которой определяются выражением

(2)

Теорема: Определитель произведения нескольких квадратных матриц равен произведению определителей.

Доказательство: В силу ассоциативности умножения матрицы достаточно рассмотреть случай произведения двух матриц, т.е. достаточно доказать, что det (AB) = det A * det B.

Выпишем вспомогательный определитель порядка 2n

Видим, что в верхнем левом углу определителя стоят элементы матрицы А.

Стоят элементы матрицы А в правом нижнем углу определителя , стоят элементы матрицы В. Правый верхний угол определителя состоит из нулевых элементов . Левый нижний угол содержит 1 по главной диагонали и нули на остальных местах . Вычислим определитель по 1 n- строкам воспользовавшись теоремой Лапласа.

=detA detB=detA*debB

Преобразуем определитель , не меняя его значения .Создадим нули в правом нижнем углу определителя . При этом нули в правом верхнем углу исчезнут .

В ыпишем элемент , который при таких преобразованиях окажется на пересечении i-той строки (n+j) строкой .

С равнивая получаем выражение с формулой (3) , замечаем что получаем значение ,являющегося произведением матрицы А на В . То образуется , выполнив преобразования определителя .

Вычислим определитель разложив по последующим n столбцам.

= detC

Подсчитаем число 3. S = 1+2+3+4+...+n+(n+1)+(n+2)+...+2n=(1+2n/2)*2n=n+2

Воспользовавшись формулой для сумм арифметической прогрессии и определитель будет равен

Таким образом получим , что определитель матрицы C (detC)

det(C)=det(AB)=det(A)det(B)

Определение: квадратная матрица называется вырожденной (особенной) , если ее определитель (det) =0.

Следствия из теоремы.

1)Произведение квадратных матриц n – го порядка , содержащих хотя бы одну вырожденную матрицу , является вырожденной матрицей.

2)Произведение невырожденных матриц , является невырожденной матрицей.

Роль единицы при умножении матриц играет единичная матрица . Единичную матрицу обозначают E и она состоит из единиц, расположенных выражений.

вычислим определитель из левой и правой части записанного , таким образом замечаем, если А не вырожденная, то присоединенная матрица А*, также является не вырожденной, причем: , аналогичный результат получается при рассмотрении произведения , заметим, что если матрица С= и если элементы одной из перемножаемых матриц разделит на некоторое число, то все элементы матрицы С разделятся на это число. С учётом сделанного замечания

В ыражение (5) позволяет вычислить обратную матрицу.

Решение матричных уравнений

Пусть даны две матрицы A и B, причем A-невырожденная и 2 неизвестная матрицы X, Y. С помощью обратной матрицы можно решать уравнения вида:

A*X=B (1)

Y*A=B (2)

Для решения уравнения (1) умножаем обе части на матрицу обратную к А слева

в силу ассоциативности матриц левую часть уравнения представим в виде

произведение, стоящее в скобках

умножение на ед. матрицу не изменяет матрицу Х. Чтобы Y*A=B необходимо умножить на обратную матрицу справа

в силу ассоциативности

- решение уравнения (2)