31 Вопрос

Глобальные свойства непрерывной функции.

Теорема:Если f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и значение этой функции на концах отрезка является разность знаков, то , найдется точка с такая что

Доказательство: Сформулированная теорема имеет наглядный геометрический смысл.

Если график функции переходит с нижней полуплоскости на верхнюю и наоборот, то найдется такая точка которая будет пересекать ось Х.

Середина имеет координаты .

При этом может случится что значение функции в серединной точке отрезка равно нулю. В этом случае теорема будет доказана.

Если значение функции в серединной точке не равно нулю, то на одном из двух полученных отрезков будут выполняться условия теоремы.

Обозначим через тот отрезок, для которого , .

Разделим отрезок пополам

При этом могут реализоваться два случая:

1. в середине отрезка значение функции равно нулю;

2. если в середине отрезка значение функции отлично от нуля, то на концах отрезка функция имеет разные знаки.

Продолжая указанный процесс могут образоваться два случая:

1. за конечное число шагов наткнемся на точку значение функции в которой равно нулю;

2. процесс построения отрезков бесконечен. Каждый следующий отрезок целиком содержится в предыдущем

С увеличением n длина отрезка стремится к нулю, так как длина n-го отрезка определяется . Построенная система отрезков является стягивающей. Согласно ранее приведенной теореме заключаем, что стягивающая система отрезков обладает единственной точкой принадлежащей всем отрезкам.

Обозначим эту точку через точку С и заметим что , .

Докажем что значение функции на левых концах отрезка меньше нуля .

Перейдем к пределам

Так как функция является непрерывной, то ,

Поскольку должны выполняться оба неравенства, то . Показали, что и в случае бесконечной последовательности найдется точка с принадлежащая значение функции, в которой равно нулю.

Теорема: Если функция непрерывна на и принимает на концах отрезка значения , то для любого значения , лежащего между значениями и найдется такая тлчка из отрезка [ , ] , что .

Доказательство: Для доказательства теоремы достаточно рассмотреть тот случай, когда величина отличается от величины и , т.к. если бы = , то в качестве т. можно было взять т. _. Пусть < и значения лежит между значениями и . < <

Рассмотрим функцию По теореме о непрерывности разности 2-ух непрерывных функций, заключаем, что функция непрерывна на отрезке [ ] Подсчитаем значения на концах отрезка:

По ранее доказанной теореме, заключаем, что на отрезке [ ] найдется т. с такая, что

Первая теорема Вейерштрасса.

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [ ], то она ограничена на этом отрезке.

Вторая теорема Вейерштрасса.

Если функция непрерывна на отрезке [ ], то она достигает на этом отрезке своих точных верхних и нижних граней, то есть на отрезке[ ] найдутся точки, такие, что - является точной нижней гранью множества значений функции, - верхней.