
- •1 Вопрос
- •2 Вопрос
- •3 Вопрос
- •4 Вопрос
- •5 Вопрос
- •6 Вопрос
- •7 Вопрос
- •8 Вопрос
- •9 Вопрос
- •10 Вопрос
- •11 Вопрос
- •12 Вопрос
- •13 Вопрос
- •14 Вопрос
- •16 Вопрос
- •17 Вопрос
- •18 Вопрос
- •19 Вопрос
- •20 Вопрос
- •21 Вопрос
- •22 Вопрос
- •23 Вопрос
- •24 Вопрос
- •25 Вопрос
- •26 Вопрос
- •27 Вопрос
- •29 Вопрос
- •30 Вопрос
- •31 Вопрос
- •32 Вопрос
- •33 Вопрос
- •35 Вопрос
- •39 Вопрос
- •40 Вопрос
- •41 Вопрос
- •42 Вопрос
29 Вопрос
Первый замечательный предел.
Т
еорема:
предел
функции
в нуле существует и равен единице .
Доказательство: Выполним вспомогательное построение. Изобразим единичную окружность, на которой отложим угол x., круговой сектор
и треугольники СОВ, АОВ, из выполнения
построения
вытекает
вместо площадей подставим соответствующие
выражения,
получим:
,
при x
sin
x
положителен, поэтому, разделив неравенство
на sin
x
сохраним прежние знаки:
Заметим, что функции входящие в выражение (1), следовательно, неравенство (1) остаётся справедливым и при отрицательном значении х.
Видим
произвольную последовательность
сходящейся к 0,на основании неравенства
(1)
.
Предел последовательностей стоящих
слева
Т
аким
образом, по принципу двустороннего
ограничения заключаем, что
,
откуда на основании определения функции
по Гейне вытекает, что первый замечательный
предел существует:
Второй замечательный предел
Теорема:
Предел функции
в 0 существует и равен е.
Отметим, что функция
f(x)
не является элементарной. Из второго
замечательного предела вытекает
существование предела функции
Следствие:
30 Вопрос
Локальные и глобальные свойства непрерывных функций
Определение: Локальными свойствами функции называют свойства справедливые в некоторой видимой окрестности точки.
Определение: Глобальные свойства функции справедливы на всем множестве определения функции.
Например, чётность, нечётность, периодичность, монотонность.
Локальные свойства непрерывных функций.
Теорема о локальной ограниченности функции, имеющей конечный предел: Пусть функция f(x) определена на множестве {x} и имеет конечное предельное значение в точке а.
Тогда
существует такое положительное значение
,
что функция f(x)
является ограниченной на множестве
,
которое является пересечением {x}
и
-окрестности
точки а.
Доказательство:Пусть функция f(x) имеет в точке а конечный предел, равный b.
Согласно
определению предела функции по Коши,
для некоторого числа ε найдётся
отвечающее ему число
,
такое, что
.
Последнее
неравенство можно записать в виде
.
Если функция f(a) не определена в точке а, то теорема доказана, так как m=b-ε, а в качестве М можно взять число M = b + ε, тогда для всех значений x, принадлежащих множеству .
Если точка а принадлежит области определения функции, то выберем в качестве m=min{b-ε, f(a)}. M = max{b+ε, f(a)}. Заметим, что в этом случае будут выполняться неравенства
10. Если f(x) непрерывна в точке а, то она ограничена на множестве значений аргумента x, принадлежащих некоторой -окрестности точки а.
Справедливость следствия вытекает из того, что функция непрерывна в точке а, имеет в этой точке предел.
Теорема: Если функция f(x) непрерывна в точке а и значение этой функции в этой точке положительное(отрицательное), то значения функции f(x) будут положительными(отрицательными) на некотором множестве
Доказательство:
Так как f(x)
непрерывна в точке а, то для любого
положительного числа ε найдётся
соответствующее число(положительное)
,
такое, что для всех значений
выполняется неравенство
.
Последнее
неравенство означает, что на множестве
значений функции лежат
.
Возьмём
в качестве ε положительное число
,
тогда если f(a)>0,
то
.
Значения
функции f(x)
на множестве
будут положительными ,если f(a)<0,
то
.
Таким образом заключаем, что если значения функции в точке а, то а множестве функция f(x) также будет отрицательной.
К числу локальных свойств непрерывных функций относится рассмотренная ранее теорема о непрерывности суммы, разности, произведения, частного непрерывной функции, теорема о непрерывности сложной функции, теорема о непрерывности обратной функции.