
- •1 Вопрос
- •2 Вопрос
- •3 Вопрос
- •4 Вопрос
- •5 Вопрос
- •6 Вопрос
- •7 Вопрос
- •8 Вопрос
- •9 Вопрос
- •10 Вопрос
- •11 Вопрос
- •12 Вопрос
- •13 Вопрос
- •14 Вопрос
- •16 Вопрос
- •17 Вопрос
- •18 Вопрос
- •19 Вопрос
- •20 Вопрос
- •21 Вопрос
- •22 Вопрос
- •23 Вопрос
- •24 Вопрос
- •25 Вопрос
- •26 Вопрос
- •27 Вопрос
- •29 Вопрос
- •30 Вопрос
- •31 Вопрос
- •32 Вопрос
- •33 Вопрос
- •35 Вопрос
- •39 Вопрос
- •40 Вопрос
- •41 Вопрос
- •42 Вопрос
24 Вопрос
Монотонные последовательности.
Определение: Последовательность {Xn} называется монотонной, если она является либо не убывающей, либо невозрастающей.
Определение:
Последовательность {Xn}
называется неубывающей (невозрастающей),
если все элементы этой последовательности,
начиная со второго удовлетворяют
неравенству
.
Неубывающая и невозрастающая последовательность называются монотонной последовательностью.
Теорема(теорема о сходимости некоторой ограниченной последовательности): Если неубывающая (невозрастающая) последовательность ограничена сверху (снизу), эта последовательность является сходящейся.
Доказательство:
Система отрезков {
}
наз. стягивающейся системой отрезков,
если недостающий отрезок в предыдущем
и если длина отрезка
0 при n
Следствии: У всякой стягивающейся системы отрезков существует единственная точка, принадлежащая всем отрезкам.
Число Е
Рассмотрим последовательность рациональных чисел n-ый член которой определяется
(2)
Покажем что последовательность n-ый член которой определяется соотношением (2), является сходящейся. Для этого покажем, что эта последовательность является возрастающей и ограниченной сверху.
Используя формулу Бинома – Ньютона соотношение 2 можно представить виде:
=
Используя
выражение для числа сочетаний
,
получим:
=
Перепишем последнее соотношение в виде
=
(3)
Используя представление (3), выпишем выражение для (n+1) элементов последовательности (4):
В выражении (3) присутствуют n слагаемых, в выражении (4) – (n+1) слагаемых.
Заметим, что последнее слагаемое в выражении (4) положительное.
Сравним между собой к-ое слагаемое соотношений (3),(4), где к меняется от 2 до n
k-ое слагаемое в соотношении (4) будет иметь вид:
Сравнивая
к-ые слагаемые, замечаем, что к-ое
слагаемое выражения (3) < k-ого
слагаемого выражения (4). Откуда вытекает
выполнение неравенства:
, т.е. рассматриваемая последовательность
является возрастающей.
Покажем,
что эта последовательность является
ограниченной. Заменим в выражении (3)
каждую круглую скобку 1. В результате
получим неравенство:
Используя
очевидное соотношение
Используя очевидное неравенство для и оценки (5) получим что
Используя формулу
бесконечно убывающей геометрической
прогрессии парвую часть представем в
виде
Рассматривая
последовательность возрастающую и
которая ограниченна сверху следовательно
она имеет придел. Следуя Леонарду
Геллеру этот предел обозначается в
виде
Вещественное
число
Если последовательность является бесконечно большой то её предел равен бесконечности
Если не является сходящейся то её называют расходящейся.