16 Вопрос

Кривые второго порядка

Определение: Геометрическое место точек координаты которых удовлетворяющие уравнению (1), в котором коэффициенты А,В,С не равны 0 одновременно, называются линией второго порядка.

Эллипс

Определение: Эллипсом называется линия, которая в некоторой декартовой системе координат определяется каноническим уравнением:

Каноничные оси координат являются осями симметрии эллипса, а натуральные координатным-центром симметрии.

Ф орму эллипса легче всего установить используя тригонометрические параметрические уравнения эллипса:

По определению . Точки с координатами (-с;0) (с;0) называются фокусами эллипса, лежат на ОХ. расположений от точек эллипса до его фокусов ,равна постоянной величине 2а.

Сумма расстояний от точки, лежащей на эллипсе до его фокусов есть величина постоянная, равная оси эллипса.

Определение: Кривая, точки которой обладает свойством С элементов, связаны такие 2 заметные линии называются директрисами.

О тношение называется эксцентриситетом, для элементов

Директрисами элементов называются прямые, уравнение которых x=Поскольку <1 замечаем, что директрисы проходят не пересекая линию эллипса.

Все точки лежавшие на эллипсе обладают свойством: отношения расположения от точки эллипса до фокуса до фокуса к расстоянию соответствующей директрисы равняется эксцентриситету эллипса. Фокус и директриса, лежащие по одну сторону от начала координат, называются соответствующими друг другу.

Касательная к эллипсу в точке M₀ (x₀,y₀) есть биссектриса угла, смежного с углом между отрезками, соединяющими эту точку с фокусами.

Гипербола

Определение: Гиперболой называется линия, которая в некоторой, декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением:

1 ⁰ Оси канонической системы координат гиперболы являются осями симметрии, а начало канонической системы, центром симметрии.

В силу симметрии достаточно проследить за движением первой из точек, при изменении k. Числитель дроби постоянный, а знаменатель принимает наибольшее значение при k=0, следовательно, наименьшую абсциссу имеет точка с координатами (a,0), с ростом k знаменатель убывает и абсцисса х растет бесконечно, когда k приближается к числу b/a. Прямая y=bx/a с угловым коэффициентом b/а не пересекает гиперболу и прямые с большим угловым коэффициентом также больше её не пересекает.

Определение: прямые с уравнениями y=bx/a b y=-bx/a в канонической системе координат называются асимптотами гиперболы. С гиперболой связаны две замечательные точки, называемые его фокусами. Пусть с²=а²+b² и с>0.

Ф окусами гиперболы называются точки F₁, F₂ c координатами соответственно (c,0), (-c,0). Отношение называют экстрацентритетом у гиперболы .

2⁰ Тока М лежит на гипотенузе тогда и только тогда, когда разность расстояний до фокусов гипотенузы по абсолютной величине равна 2а.

- эксцентриситетом гипотенузы E>1.С гипотенузой связаны 2 замечательные прямые, называемые её директрисами. Уравнение директрис имеет вид:

3⁰ Точка М лежит на гипотенузе, если отношение расстояний от этой точки до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равной E .

. Уравнение касательной к гиперболе выводится аналогично уравнению касательной к эллипсу, и имеет вид.

Парабола

Определение: параболой называется линия, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется некоторым уравнением: (3)

Парабола пересекается с осями координат в точке (0;0). Эта точка называется вершиной параболы. Из уравнения (3) вытекает :

1⁰. Ось абсцисс является осью симметрии параболы. Форма параболы известна из школьного курса.

Фокусом параболы называют точку F(P/2; 0). Директрисой параболы называется прямая .

2⁰. Расстояние от произвольной точки параболы до фокуса равно .

3⁰. Точка М лежит на параболе, если она равноудалена от фокуса и биссектрисы ( ).

Принято считать, что .

Аналогично нахождению касательной к эллипсу можно найти уравнение касательной к параболе, которая имеет вид: