7.5. Применение теоремы Умова-Пойтинга для

определения активного и внутреннего индуктивного

сопротивления цилиндрического провода при переменном токе.

Активное и внутреннее индуктивное сопротивления цилиндрического провода при переменном токе часто определяют с помощью теоремы Умова-Пойтинга в комплексной форме.

,

где P – активная мощность;

Q – реактивная мощность.

Чтобы получить комплексное сопротивление проводника на единицу длины, необходимо рассчитать поток вектора Пойтинга через боковую поверхность проводника на длине 1 м и разделить полученную величину на квадрат тока, протекающего по проводнику.

.

Для цилиндрического провода

,

,

тогда

.

Отсюда

,

,

где - внутреннее реактивное сопротивление проводника.

Отсюда легко определить .

Заключение

Стационарное электрическое или магнитное поле можно рассчитать по уравнению Пуассона, составленному для скалярного потенциала или для векторного потенциала :

,

.

Последнее векторное равенство является сокращенной записью трех уравнений Пуассона, составленных для проекций векторного потенциала на оси координат.

В частном случае, когда в точке наблюдения свободные заряды и токи проводимости отсутствуют, соотношения переходят в уравнения Лапласа:

,

.

При решении уравнений Пуассона и Лапласа постоянные интегрирования определяются из граничных условий.

Решение уравнений Пуассона или Лапласа будет единственным, если задано значение потенциала (скалярного или векторного) на граничных поверхностях.

Зная и , по известным соотношениям и нетрудно определить вектор напряженности электрического поля и вектор индукций магнитного поля .

Векторы и являются физическими характеристиками электрического и магнитного полей и определяют физические свойства поля в данной точке (например, силу, действующую на неподвижный или движущийся заряды).

Кроме того, существуют еще вектор электрической индукции и вектор напряженности магнитного тюля , используемые в качестве расчетных величин. Эти векторы отличаются тем, что их дифференциальные уравнения

,

не зависят от среды.

Решения этих уравнений, т. е. поля векторов и будут зависеть от среды в той мере, в какой изменение среды влияет на граничные условия, определяющие постоянные интегрирования.

Следующий метод расчета электрического и магнитного полей — метод наложения или, как его еще можно назвать, метод непосредственного интегрирования. При этом методе заряд или ток разбиваются на элементарные заряды или токи. Напряженность электрического поля или индукция магнитного поля определяются как результат наложения напряженностей электрического поля или индукций магнитного поля, созданных элементарными зарядами или токами:

,

.

Скалярный и векторный потенциалы можно вычислить по соотношениям:

,

,

а, зная их, можно определить

и .

Этот метод расчета представляет значительные математические трудности.

Симметричные поля удобно рассчитывать по теореме Гаусса (электрическое поле) и по закону полного тока (магнитное поле).

Теорема Гаусса и закон полного тока, как объективные законы природы, справедливы для любых полей, но как метод расчета они удобны лишь для симметричных полей.

Аналитический расчет полей возможен только в отдельных случаях.

В теме 3 рассмотрено электрическое поле в проводящей среде, т. е. электрическое поле постоянного тока.

Постоянный ток возможен только при наличии стороннего поля, обусловленного преобразованием неэлектрической энергии в электрическую.

Стороннее поле существует лишь внутри источника тока. Электрическое поле постоянного тока, созданное движущимися электрическими зарядами, удовлетворяет соотношениям, полученным для электрического поля неподвижных зарядов. Дополнительно рассматривается поле вектора плотности тока .

Уравнение непрерывности вектора плотности постоянного тока

указывает на отсутствие истоков этого вектора, т. е. на замкнутость его линий.

В теме 5 рассматривается переменное электромагнитное поле в неподвижной среде.

Уравнения Максвелла формулируются в результате перехода от частных закономерностей к общей теории. Затем общая теория используется для решения частных задач.

Первое уравнение Максвелла - .

Второе уравнение Максвелла - .

Физический смысл этих уравнений заключается в том, что магнитное поле создается не только током проводимости, но и током смещения, т. е. изменением во времени электрического поля, точно так же изменение во времени магнитного поля создает вихревое электрическое поле. Все интегральные законы электротехники, лежащие в основе расчета электрических цепей, можно получить как следствие из уравнений Максвелла.

Рассмотрен метод решения уравнений Максвелла при помощи векторного и скалярного потенциалов.

- уравнение для нахождения скалярного электродинамического потенциала .

- уравнение для нахождения вектора-потенциала .

Эти уравнения являются уравнениями Даламбера.

Напряженность электрического поля и индукция магнитного поля определяются по соотношениям:

; .

Если в рассматриваемом объеме нет токов проводимости и свободных зарядов, то получим частный случай уравнений Даламбера:

- волновые уравнения электромагнитного поля, которые характеризуют процесс распространения электромагнитного поля в областях, где нет источников этого поля.

Для стационарного поля уравнения Даламбера являются уравнениями Пуассона:

При отсутствии в рассматриваемом объеме токов проводимости и свободных зарядов получим уравнения Лапласа:

Решение волнового уравнения Даламбера получается в виде запаздывающего потенциала:

, .

Запаздывающие потенциалы являются математическим выражением материалистической теории близкодействия, согласно которой электромагнитное поле распространяется через среду от точки к точке с определенной скоростью, зависящей от среды.

Изучение процесса распространения электромагнитной энергии привело к понятию вектора плотности потока мощности — вектору Пойтинга. При этом было установлено, что в случае передачи энергии «по проводам» энергия в действительности передается окружающим провода электромагнитным полем, обладающим определенной удельной массой и удельной энергией. Провода лишь играют роль граничных поверхностей, создающих определенное пространственное распределение электромагнитного поля.

В провода поступает («засасывается») только энергия, необходимая для покрытия тепловых потерь.

Вопросы, связанные с излучением электромагнитной энергии (правильнее говорить «с излучением электромагнитного поля»), в этом курсе не затронуты.

В настоящее время некоторые основные вопросы электромагнитного поля еще не разрешены до конца: уравнения Максвелла не обобщены на явления в микромире; не объяснены постулированные законы электрического и магнитного взаимодействия неподвижных и движущихся зарядов; требуют дальнейшего развития математические методы исследования электромагнитных полей и др.

В настоящее время можно считать уже общепризнанным то, что электромагнитное поле материально так же, как материально вещество.

Электромагнитное поле и вещество — это две взаимопереходящие формы материи. Электромагнитное поле, обладая, подобно веществу, определенной массой и энергией, распространяется с определенной скоростью.

Движущей силой электромагнитного процесса является единство 'противоположностей — единство электрического и магнитного полей, их взаимный переход — переход одной формы движения в другую.