3.5. Уравнение Лапласа для электрического поля

в проводящей среде.

Так же как и в электростатическом поле, в проводящей среде .

Из уравнения непрерывности для постоянного тока .

Если проводимость среды не изменяется от точки к точке, т.е. если среда однородна и изотропна, можно вынести за знак дивергенции

, отсюда

, или . (3.13)

Таким образом, электрическое поле в однородной проводящей среде является полем потенциальным. В нем, в областях, не занятых источником,

, или (поле не вихревое).

3.6. Граничные условия.

При отсутствии сторонних ЭДС в проводящей среде поле постоянных токов описывается теми же уравнениями, что и электростатическое поле, а граничные условия аналогичны граничным условиям электростатического поля:

1 ) тангенциальная составляющая вектора напряженности поля на границе раздела двух сред непрерывна

;

2) нормальная составляющая вектора плотности тока на границе раздела двух сред непрерывна

.

Так как , то ,

и ,

т.е. при переходе через границу раздела сред нормальные составляющие вектора напряженности и тангенциальные составляющие вектора плотности тока терпят разрыв.

Т.к. и , то (см. рис. 3.5) ,

а . Разделив почленно, получим

. (3.14)

Это равенство – закон преломления линий вектора плотности тока на границе раздела двух сред.

3.7. Аналогия между электрическим полем постоянного тока

и электростатическим полем.

Электростатическое поле создается электростатическими зарядами, неизменными во времени и неподвижными в пространстве. Электрическое поле в проводящей среде – это поле, в котором электрические заряды имеют упорядоченное движение под действием внешнего источника. Тем не менее, между двумя полями можно провести формальную аналогию.

Электростатическое поле	Поле постоянного тока, где отсутствуют сторонние источники
при и
при и

Граничные условия

при
при

В областях, где нет сторонних источников, поле постоянного тока описывается уравнениями, аналогичными уравнениям электростатического поля.

В этих уравнениях соответствует , C, , .

Это значит, что поле постоянного тока можно исследовать по формулам электростатики при соответствующих заменах величин.

Аналогию между электрическим полем постоянного тока и электростатическим полем можно провести следующим образом.

В проводнике поле постоянного тока потенциальное и удовлетворяет уравнению Лапласа . Следовательно, для определения потенциала поля необходимо решить уравнение Лапласа и учесть граничные условия.

В диэлектрике электростатическое поле также описывается уравнением Лапласа (при отсутствии свободных зарядов).

Поэтому, если две одинаковые ограниченные области - проводящая (без сторонних источников) и диэлектрическая (без свободных зарядов) - имеют на граничной поверхности одинаковое распределение потенциала, то внутри каждой из этих областей распределение потенциала также будет совпадающим.