2.9. Поток вектора .

В электрическом поле выделим бесконечно малый элемент площадки и восстановим в какую-либо сторону единичный, нормальный к этому элементу, вектор (рис. 2.6). Элементарный поток вектора сквозь площадку dS есть величина скалярная, равная

,

где - вектор, длина которого численно равна площади элемента поверхности dS, а направление совпадает с направлением единичного вектора .

В зависимости от угла между и поток вектора может иметь тот или иной знак (если угол острый, то знак потока положительный, если тупой — отрицательный). Обычно направление единичного вектора связывают с обходом элемента площадки dS по правовинтовой системе.

Поток вектора сквозь поверхность S равен

. (2.13)

При говорят про исток вектора , а при - про сток вектора.

Если поверхность замкнута, то поток вектора сквозь замкнутую поверхность определится

. (2.14)

При этом условно будем считать положительной внешнюю нормаль к замкнутой поверхности.

Если поверхность, сквозь которую определяют поток вектора, замкнутая, то на знаке интеграла ставят кружок.

В теории поля проявляют интерес не только к наличию потоку вектора, а и к тому, в какой точке находится источник вектора. Для определения источника поля в каждой точке пространства вводят понятие дивергенции вектора.

2.10. Дивергенция вектора .

Для описания векторного поля введена скалярная величина, которая называется дивергенцией или расходимостью вектора. Нахождение дивергенции является операцией дифференцирования векторной величины по координатным направлениям.

П усть некоторый объем V находится в поле вектора . Разобьем поверхность, которая ограничивает объем, на бесконечно малые элементы dS (рис. 2.7).

Будем считать внешнюю нормаль, проведенную к поверхности объема, положительной. Тогда вектор будет направлен наружу. Поток вектора сквозь поверхность, которая ограничивает объем, равен

.

Предел, к которому стремится отношение полного потока вектора через замкнутую поверхность к величине ограничиваемого ею объема при бесконечном уменьшении последнего, называется дивергенцией или расходимостью вектора.

Дивергенция — скалярная величина; она положительна, если линии поля начинаются в бесконечно малом объеме, и отрицательна, если линии поля заканчиваются в этом объеме.

Поля, в которых полный поток вектора через любую замкнутую поверхность равен нулю, называются бездивергентными.

Определение дивергенции вектора можно выразить математически

. (2.15)

Дивергенция вектора в прямоугольных координатах

, (2.16)

где - составляющие вектора по координатным осям.

Дивергенция вектора в точке, в которой отсутствует заряд, равна нулю.

Дивергенция вектора во всех точках пространства электрического поля равна нулю, если в данном пространстве отсутствуют заряды.

Если электрическое поле создано положительным зарядом, то внутри области, в которой находится заряд, будет исток поля вектора , если отрицательным, то - сток. Если внутри области нет зарядов, то нет ни истоков, ни стоков поля, а значит, (рис. 2.8). Следовательно, дивергенция характеризует векторное поле в каждой его точке с точки зрения наличия истоков или стоков поля.